Alaoglu tétele
Alaoglu tétele a funkcionális analízis tétele, a gyenge topológia egyik legfontosabb eredménye .
Alkalmazást talál a fizikában, amikor a megfigyelések algebra halmazát írja le, nevezetesen, hogy bármely állapot felírható az úgynevezett tiszta állapotok konvex lineáris kombinációjaként.
Általában a bizonyításban a gyenge* topológiájú egységgolyót a kompakt halmazok terméktopológiájú szorzatának zárt részhalmazával azonosítja . A Tyihonov-tétel következtében ez a szorzat, és így a benne lévő egységgömb kompakt.
Megfogalmazás
Egy normált vektortér duális terének zárt egységgömbje kompakt a gyenge* topológiában .
Történelem
Pitch szerint legalább 12 matematikus állíthatja ezt a tételt vagy annak fontos elődjét [1]
- 1912-ben Edward Helly bebizonyította, hogy a folytonos kettős tér egységgömbje megszámlálhatóan kompakt a gyenge* topológiában [2] .
- 1932-ben Stefan Banach bebizonyította, hogy a zárt egységgömb bármely szétválasztható normált tér folytonos kettős terében szekvenciálisan gyenge* kompakt [2] .
- Az általános esetre vonatkozó bizonyítékot 1940-ben publikálta Leonidas Alaoglu .
![{\displaystyle C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e4f44fa2823fcdffc5fc26981c0d4fa57cade9)
Jegyzetek
- ↑ Narici, Beckenstein, 2011 , pp. 235-240.
- ↑ 1 2 Narici, Beckenstein, 2011 , pp. 225-273.
Irodalom
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topológiai vektorterek. Tiszta és alkalmazott matematika (Második kiadás) (angol) . - Boca Raton: CRC Press, 2011. - ISBN 978-1584888666 .