Szimmetrikus tér

A szimmetrikus tér egy Riemann-féle sokaság, amelynek izometriacsoportja tetszőleges pontra központosított központi szimmetriákat tartalmaz.

Történelem

A szimmetrikus terek tanulmányozását Eli Cartan kezdeményezte . Különösen 1926-ban kapott minősítést.

Példák

euklideszi tér ,
gömbök ,
Különféle projektív terek naturális metrikával.
Lobacsevszkij tér
Kompakt félig egyszerű Lie - csoportok bi-invariáns Riemann-metrikával.
Bármely 2. nemzetséghez tartozó kompakt felület (állandó görbületű metrikával ) lokálisan szimmetrikus tér, de nem szimmetrikus tér. $-egy$

Definíció

Legyen egy összefüggő Riemann-sokaság , és legyen egy pont -ben . $M$ $p$ $M$

A leképezést geodéziai szimmetriának nevezzük , amelynek középpontja egy pont , ha $s_{p}\colon M\to M$ $p$

s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.

Egy pont szomszédságán meghatározott leképezést lokális geodéziai szimmetriának nevezzük , amelynek középpontja a pont , ha $s_{p}\colon U\ to U$ $\varepsilon$ $U$ $p$ $p$

s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)

at . $|v|<\varepsilon$

A Riemann-sokaságot szimmetrikusnak mondjuk , ha a központi szimmetria minden pontra definiálva van, és egyben izometria is . $M$ $M$

Ha ugyanez a feltétel érvényes a lokális geodéziai szimmetriára, akkor ezt lokálisan szimmetrikus térnek nevezzük . $M$

Kapcsolódó definíciók

Egy egyszerűen összefüggő szimmetrikus teret irreducibilisnek mondunk , ha nem izometrikus két vagy több Riemann szimmetrikus tér szorzatára.
- Egy irreducibilis szimmetrikus teret kompakt típusúnak nevezünk , ha nem negatív (de nem azonos nulla) metszeti görbülete van .
- Egy irreducibilis szimmetrikus teret nem tömör típusú térnek nevezünk, ha nem pozitív (de nem azonos zérus) metszeti görbülete van .
A szimmetrikus tér rangja az érintőtér részterének maximális mérete egy olyan (tehát bármely) pontban, ahol a görbület azonosan nulla.

Tulajdonságok

Egy Riemann-sokaság akkor és csak akkor lokálisan szimmetrikus, ha görbületi tenzora párhuzamos .

Bármely egyszerűen összekapcsolt , teljes , lokálisan szimmetrikus tér szimmetrikus.
- Különösen a lokálisan szimmetrikus tér univerzális lefedése szimmetrikus.

Egy szimmetrikus tér izometriacsoportja tranzitívan hat rá.
- Konkrétan minden szimmetrikus tér homogén tér , ahol egy Lie csoport és annak alcsoportja. $G/K$ $G$ $K$

Minden egyszerűen összekapcsolt szimmetrikus tér izometrikus az irreducibilisek szorzatához.

A szimmetrikus tér rangja mindig legalább 1.
- Ha a rang 1, akkor a metszeti görbület minden metszetirányban pozitív vagy negatív, a tér pedig irreducibilis.
- Az euklideszi típusú terek rangja megegyezik a dimenziójukkal, és izometrikusak az adott dimenziójú euklideszi térhez képest.

Osztályozás

Bármely szimmetrikus tér homogén , alatta a és -n keresztüli besorolás látható , a terek megnevezése megegyezik a Cartan-belivel. $G/K$ $G$ $K$

Kijelölés	G	K	Dimenzió	Rang	Geometriai leírás
AI	${\mathrm {SU}}(n)$	${\mathrm {SO}}(n)$	${\megjelenítési stílus (n-1) (n+2)/2}$	n − 1	Az összes valós struktúra tere a komplex determináns megőrzésén $\mathbb{C}^n$
AI	$\mathrm {SU} (2n)$	$\mathrm {Sp} (n)$	${\megjelenítési stílus (n-1) (2n+1)}$	n − 1	A kvaterniós szerkezetek tere fix hermitikus metrikával ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n))$
III	$\mathrm {SU} (p+q)$	$\mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))$	$2pq$	min( p , q )	Összetett p -dimenziós alterek Grassmann -féle in $\mathbb {C} ^{p+q}$
BDI	$\mathrm {SO} (p+q)$	$\mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)$	$pq$	min( p , q )	Az orientált p -dimenziós Grassmann- féle ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q))$
III	$\mathrm {SO} (2n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n-1)$	[ n /2]	Az ortogonális komplex struktúrák tere on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))$
CI	$\mathrm {Sp} (n)$	$\mathrm {U} (n)$	$n(n+1)$	n	A komplex szerkezetek tere skalármegtartó szerkezeteken ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$
II	$\mathrm {Sp} (p+q)$	$\mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)$	$4pq$	min( p , q )	A kvaterniós p -dimenziós alterek Grassmann -ja ${\displaystyle \mathbb {H} ^{p+q))$
EI	$E_{6}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\))$	42	6
EII	$E_{6}$	$\mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)$	40	négy	A szimmetrikus alterek tere izometriában $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}$
III	$E_{6}$	$\mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)$	32	2	Összetett projektív Kelly sík $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EIV	$E_{6}$	$F_{4}$	26	2	A szimmetrikus alterek tere izometriában $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ $\mathbb {OP} ^{2}$
EV	$E_7$	${\displaystyle \mathrm {SU} (8)/\{\pm I\))$	70	7
EVI	$E_7$	$\mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)$	64	négy
EVII	$E_7$	$E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)$	54	3	A szimmetrikus alterek tere izomorfban ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2))$ $(\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$
EVIII	$E_8$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\))$	128	nyolc
EIX	$E_8$	$E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)$	112	négy	A szimmetrikus alterek tere izomorfban $(\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}$ ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2))$
FI	$F_{4}$	$\mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)$	28	négy	A szimmetrikus alterek tere izomorfban ${\mathbb {O}}P^{2}$ ${\mathbb {H}}P^{2}$
FII	$F_{4}$	$\mathrm {Spin} (9)$	16	egy	Cayley repülőgép ${\mathbb {O}}P^{2}$
G	$G_{2}$	$\mathrm {SO} (4)$	nyolc	2	A Cayley algebra részalgebráinak tere izomorf a Quaternion algebrával ${\mathbb {O}}$ ${\mathbb {H}}$

Változatok és általánosítások

Definíció hazugságcsoportok szerint

Egy általánosabb definíciót a Lie csoportok nyelvén adunk meg . Az általánosított szimmetrikus tér egy homogén tér szabályos lefedése , ahol a Lie csoport ill $G/K$ $G$

{\displaystyle K=\{g\in G:\sigma (g)=g\))

némi involúcióhoz . $\sigma \colon G\to G$

Minden szimmetrikus tér általánosított szimmetrikus tér. Ebben az esetben a tér izometria csoportjának involúcióját a következőképpen határozzuk meg $\sigma \colon G\to G$ $G$ ${\displaystyle \sigma \colon h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p))$
- Fordítva igaz, ha kompakt. $K$

Ezek az általánosított szimmetrikus terek közé tartoznak a pszeudo-riemann szimmetrikus terek , amelyekben a Riemann-metrikát a pszeudo-Riemann-féle metrika váltja fel . Különösen

Gyengén szimmetrikus terek

Az 1950-es években Atle Selberg meghatározta a gyengén szimmetrikus teret . Ezeket Riemann-sokaságként definiáljuk tranzitív izometriacsoporttal úgy, hogy minden -ben lévő pontra és érintővektorra van egy izometria, amely attól függ , hogy $p$ $M$ $v$ $p$ $én$ $v$ $p$

$én$ javítások ; $p$
$di(v)=-v$ .

Ha a -tól függetlenül választhatunk , akkor a tér szimmetrikus. $én$ $v$

A gyengén szimmetrikus terek osztályozását Akhiezer és Vinberg adta meg, és az összetett félig egyszerű Lie-algebrák periodikus automorfizmusainak osztályozásán alapul [1] .

Szférikus terek

Egy kompakt homogén teret gömb alakúnak mondunk, ha egy csoport bármely irreducibilis reprezentációja legfeljebb egy invariáns vektorral rendelkezik. A szimmetrikus terek gömb alakúak. [2] [3] [4] [5] $G/K$ $G$ $K-$

Hermitikus szimmetrikus terek

Azt a szimmetrikus teret, amely ráadásul a Riemann-metrikával összhangban álló, párhuzamos komplex szerkezettel van ellátva, hermitikus szimmetrikus térnek nevezzük.

Jegyzetek

↑ Akhiezer, D.N. & Vinberg, E.B. (1999), Gyengén szimmetrikus terek és gömb alakú változatok , Transf. Csoportok T. 4: 3-24 , DOI 10.1007/BF01236659
↑ M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38 (1979), 3. sz. 2, 129-153.
↑ I. V. Mikityuk, Invariáns Hamilton-rendszerek homogén konfigurációs terekkel integrálhatóságáról, Mat. Ült. 129(171) (1986), no. 4, 514-534. angol ford.: IV Mikityuk, Invariáns Hamilton-rendszerek homogén konfigurációs terekkel integrálhatóságáról, Math. Szovjetunió Sbornik 57(1987), 3. sz. 2, 527–546.
↑ M. Brion, Classification des espaces homogenes sphériques, Compositio Math. 63 (1987), 3. sz. 2, 189–208
↑ F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Reduktív valós gömbpárok osztályozása II. Archivált : 2019. december 16. a Wayback Machine -nél A félig egyszerű tok. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)

Irodalom

Cartan E. Lie-csoportok és szimmetrikus terek geometriája. - IL, 1949.
Helgason S. Differenciálgeometria és szimmetrikus terek. - Mir, 1964.
Loos O. Szimmetrikus terek. - Tudomány, 1985.