Elsődleges ideálok dekompozíciója Galois kiterjesztésekben

A prímideálok felbontása a Galois-bővítésekben az egész számok gyűrűjének prímideálainak dekompozíciója az algebrai számok területén az egész számok gyűrűjében egy Galois-bővítésben egy Galois-csoporttal . Ennek a dekompozíciónak a tanulmányozása az algebrai számelmélet egyik leggazdagabb része . Ezt az elméletet néha Hilbertnek tulajdonítják , ezért Hilbert elmélete néven jelenik meg . $P$ $O_{K}$ $K$ $O_{L}$ $L/K$ $G$

Definíciók

Legyen véges kiterjesztése a számmezőnek , és legyen és az egész számok gyűrűi , ill. $L/K$ $O_{K}$ $O_{L}$ $K$ $L$

{\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array))

Végül legyen egy nullától eltérő prímideál -ben, vagy ennek megfelelően egy maximális ideál , így a hányadosgyűrű egy mező . $P$ $O_{K}$ $O_{K}/P$

Az egydimenziós gyűrű elméletének alapjaiból az ideál egyedi dekompozíciójának létezése következik: $P$

P=\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j)),

hol vannak a különböző maximális ideálok és ezek sokasága. $P_{j}$ $e_{j}\geqslant 1$

A mező természetesen mindegyikbe beágyazódik, a maradékmező e kiterjedésének mértékét a tehetetlenségi foknak nevezzük . $F=O_{K}/P$ ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j))$ $j$ $f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]$ $P_{j}$ $P$

A kitevőt elágazási indexnek nevezzük over . Ha egyeseknél , akkor a kiterjesztést elágazónak nevezzük (vagy azt mondjuk, hogy at ágazik el ). Különben elágazás nélkülinek nevezik -ben . Ha igen, akkor a kínai maradéktétel szerint a faktor a mezők szorzata . akkor és csak akkor van elágazó, ha osztja a relatív diszkriminánst , akkor csak véges számú elsődleges ideál elágazik. $e_j$ $P_{j}$ $P$ $e_{j}>1$ $j$ $L/K$ $P$ $P$ $L$ $L/K$ $P$ $O_{L}/P$ $F_{j}$ $P$

Az ideál normájának multiplicativitása azt jelenti

[L:K]=\sum \limits _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.

Ha mindenre (és ezért ), akkor azt mondjuk, hogy teljesen lebomlik -ra . Ha és (és ezért ), azt mondjuk, hogy teljesen elágazik a -ba . Végül, ha és (és ezért ), azt mondjuk, hogy inert -ben . ${\displaystyle f_{j}=e_{j))$ $j$ $g=[L:K]$ $P$ $L$ $g=1$ $f_{1}=1$ $e_{1}=[L:K]$ $P$ $L$ $g=1$ $e_{1}=1$ $f_{1}=[L:K]$ $P$ $L$

Dekompozíció Galois kiterjesztésekben

Legyen egy Galois-kiterjesztés . Ezután a Galois-csoport tranzitív módon lép fel a -n . Vagyis az elsődleges ideális tényezők egyetlen pálya tágulásában egy feletti automorfizmus hatására . Ebből és a faktorizációs egyediségi tételből az következik , hogy és nem függenek -tól . Ekkor a létrejövő relációk formát öltenek $L/K$ $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ $P_{j}$ $P$ $L$ $L$ $K$ ${\displaystyle f=f_{j))$ ${\displaystyle e=e_{j))$ $j$

P=\left(\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}

és

[L:K]=efg.

Ebből következik, hogy a prímegyütthatók száma -ben . A pályán lévő elemek számának képlete szerint hol van a stabilizátor , az ideális dekompozíciós csoportja . Mivel az alapvető Galois-elmélet szerint a dekompozíciós csoport sorrendje mindenre . $[L:K]/ef=g$ $P$ $O_{L}$ $g=|G|/|D_{P_{j}}|$ $j$ $D_{P_{j}}=\{\sigma \in G:\sigma (P_{j})=P_{j}\}$ $P_{j}$ $P_{j}$ $[L:K]=|G|$ $|D_{P_{j}}|=ef$ $j$

A dekompozíciós csoport tartalmaz egy normál alcsoportot , az úgynevezett tehetetlenségi csoportot , amely olyan automorfizmusokból áll , amelyek az azonosság automorfizmusát indukálják . Más szóval, ez a csökkentési leképezés magja . Kimutatható, hogy ez a leképezés szürjektív, és ebből az következik, hogy és . $I_{P_{j))$ $P_{j}$ $L/K$ ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j))$ $I_{P_{j))$ $D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ $\operatorname {Gal} (F_{j}/F)\cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ $|I_{P_{j}}|=e$

A Frobenius-elemelmélet tovább megy egy adott elem azonosítására , amely egy véges térkiterjesztés Galois-csoportjában található Frobenius-automorfizmusnak felel meg . Az elágazás nélküli esetben a sorrend és triviális. A Frobenius elem is ebben az esetben egy elem (és így a -ból származó elem is ). $D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ $j$ $F_{j}/F$ $|D_{P_{j}}|=f$ $I_{P_{j))$ $D_{P_{j))$ $G$

A prímideálok dekompozíciója olyan mezőkben, amelyek nem Galois-bővítések, egy dekompozíciós mezővel tanulmányozhatók , azaz olyan Galois-kiterjesztéssel, amely tartalmazza az eredeti mezőt, de valamivel nagyobb annál. Például egy köbmező általában egy 6-os fokú Galois-kiterjesztésbe ágyazódik be.

Példa erre a Gauss-egész számok

Ez a rész az elsődleges ideálok felosztását írja le a mezőbővítésben . Vagyis vesszük és , tehát és a Gauss-egészek gyűrűje . Bár ez az eset távolról sem reprezentatív, mivel – egy faktoriális gyűrű és véges kis számú másodfokú mező egyedi faktorizációval – az elmélet számos jellemzőjét mutatja. $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q}$ $L=\mathbb {Q} (i)$ $O_{K}=\mathbb {Z}$ $O_{L}=\mathbb {Z} [i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Jelöljük a , Galois csoportot , ahol a komplex konjugált automorfizmus. Nézzünk három esetet. $G$ $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ ${\displaystyle G=\{1,\sigma \))$ $\sigma$

Prime p = 2

Egyszerű 2 in villában : $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}[i]$

(2)=((1+i)^{2})

Fiókindex . A maradék mező itt van $e=2$

{\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}\cong \mathbb {F} _{2))

2 elemből álló utolsó mező . Kiterjesztési csoport , mivel a 2 feletti számok közül csak egy van . Tehetetlenségi csoport , mivel $D_{(1+i)}=G$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $I_{1+i}=G$

a+bi\equiv a-bi{\bmod {1+i))

minden egész számra $a,b$

Valójában a 2 az egyetlen prím, amely pontban ágazik el , mivel minden elágazó prímnek el kell osztania a diszkriminánst , amely . ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $-4$

Egyszerű p ≡ 1 mod 4

Bármely prím két különböző prímideál szorzatára bomlik le -ben ; ez gyakorlatilag a Fermat-féle két négyzet összege tétel . Például: $p\equiv 1{\pmod {4}}$ ${\mathbb {Z}}[i]$

{\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)=2^{2}+3^{2))

Mindkét dekompozíciós csoport triviális ebben az esetben: , mivel az automorfizmus permutál és ezért . A tehetetlenségi csoport szintén triviális csoport, mint a dekompozíciós csoport alcsoportja. Két maradék mező van, egy minden prímhez: ${\displaystyle G_{2\pm 3i}\{1\))$ $\sigma$ $(2+3i)$ $(2-3i)$ ${\displaystyle \sigma \not \in G_{2\pm 3i))$

O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\,

amelyek izomorf . A Frobenius elem triviális automorfizmus lesz, ami azt jelenti $\mathbb {F} _{13}$

(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\pmod {2\pm 3i))

mindenkinek $a,b\in \mathbb {Z}$

Egyszerű p ≡ 3 mod 4

Bármely egyszerű , például , egyszerű, inert marad , azaz nem bomlik le. Ebben a helyzetben a dekompozíciós csoport azért van, mert . Ez a helyzet azonban eltér az esettől, mert most nem triviálisan hat a maradék mezőre . Például, . Ezért a tehetetlenségi csoport triviális: . Az almező feletti Galois-csoport 2-es sorrendű, és a Frobenius-elem képe generálja. Frobenius nem más, mint amit ez jelent $p:p\equiv 3{\pmod {4}}$ $7$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $G_{7}=G$ $\sigma (7)=7$ $p=2$ $\sigma$ $O_{L}/(7)O_{L}\cong \mathbb {F} _{7^{2}}$ $1+i\not \equiv 1-i{\pmod {7}}$ $I_{7}=\{1\}$ ${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L))$ $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ $\sigma$

(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7))

mindenkinek $a,b\in \mathbb {Z}$

Összegzés

Könnyű $\mathbb {Z}$	Hogyan bomlik le ${\mathbb {Z}}[i]$	Tehetetlenségi csoport	bomlási csoport
$p=2$	2-es indexű villák	$G$	$G$
$p\equiv 1{\pmod {4}}$	2 különböző elsődleges tényezőre bomlik	$\{egy\}$	$\{egy\}$
$p\equiv 3{\pmod {4}}$	Inert, egyszerű marad	$\{egy\}$	$G$

Ideál faktorizációjának kiszámítása

Tegyük fel, hogy egy gyűrű primer ideálját szeretnénk gyűrű primer ideáljaira bontani . A következő eljárás (Neukirch, 47. o.) sok esetben megoldja ezt a problémát. A stratégia az, hogy olyan egész számot választunk , amelyre ( a primitív elem tétel alapján létezik ), majd megvizsgáljuk a minimális elemű polinomot . Az együtthatókat modulo redukálva véges mezőből egy együtthatós polinomot kapunk . Tételezzük fel, hogy egy polinomi gyűrűben a következőképpen faktorizálódik $P$ $O_{K}$ $O_{L}$ $\theta \in O_{L}$ $L=K(\theta )$ $\theta$ $H(X)$ $\theta$ $K$ $H(X)$ $P$ $h(X)$ $F=O_{K}/P$ $h(X)$ $F[X]$

h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n)),

ahol különböző irreducibilis polinomok vannak -ben . Ekkor, ha nem egy véges számú kivételes prímszám közül (a pontos feltételt alább ismertetjük), a felosztás a következő: ${\displaystyle h_{j))$ $F[X]$ $P$ $P$

PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n)),

hol vannak a különböző elsődleges ideálok . Ezenkívül mindegyik tehetetlenségi foka megegyezik a megfelelő polinom mértékével , és van egy kifejezett képlet a következőre: $Q_{j}$ $O_{L}$ $Q_{j}$ ${\displaystyle h_{j))$ $Q_{j}$

Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},

ahol itt egy polinom emelését jelöli -ben . ${\displaystyle h_{j))$ ${\displaystyle h_{j))$ $K[X]$

Galois kiterjesztése esetén a tehetetlenségi fokok egyenlőek, az elágazási indexek pedig . ${\displaystyle e_{1}=...=e_{n))$

A kivételes prímszámok, amelyekre a fenti eredmény nem mindig érvényes, azok, amelyek a gyűrű vezetőjéhez képest nem másodprímek . A karmestert ideálként határozzák meg $O_{K}[\theta ]$

\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};

azt méri, hogy mekkora az egész számok teljes gyűrűje (maximális sorrend ) . $O_{K}[\theta ]$ $O_{L}$

Jelentős akadály, hogy vannak olyan és , amelyekre nincs , amelyek kielégítik a fenti hipotéziseket (lásd például [1] ). Ezért a fenti algoritmus nem használható egy ilyen és kifinomultabb megközelítések meghatározására, mint amilyeneket a cikkben leírtak. [2] $L/K$ $P$ $\theta$ $P$

Számítási példa

Tekintsük újra a Gauss-egészek esetét. A képzeletbeli egységet vesszük . Mivel az egész számok gyűrűje , a vezető egységideál, így nincsenek kivételes prímszámok. $\theta =i$ $H(X)=X^{2}+1$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $\mathbb {Q} (i)$

Mert a területen kell dolgoznunk , ami a 2. polinom modulo kibővítését jelenti : $P=(2)$ ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $X^{2}+1$

X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2)).

Ezért csak egy prímtényező van, amelynek tehetetlenségi foka 1 és elágazási indexe 2, és ezt a képlet adja meg.

Q=(2)\mathbb {Z} [i]+(i+1)\mathbb {Z} [i]=(1+i)\mathbb {Z} [i].

A következő eset egy egyszerű . Például vegyük . A polinom irreducibilis modulo 7. Ezért csak egy prímtényező van, amelynek tehetetlenségi foka 2 és elágazási indexe 1, és ezt a képlet adja meg. $P=(p)$ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ $P=(7)$ $X^{2}+1$

Q=(7)\mathbb {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbb {Z} [i]=7\mathbb {Z} [i].

Az utolsó eset egy egyszerű ; újra fogjuk venni . Ezúttal egy dekompozíciónk van $P=(p)$ $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $P=(13)$

X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13)).

Ezért két fő szorzó létezik, mindkettő tehetetlenségi fokával és 1-gyel egyenlő elágazási indexszel. Ezeket a kifejezés adja meg

Q_{1}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i+5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbb {Z} [i]

és

Q_{2}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i-5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbb {Z} [i] .

Geometriai analógia

Jegyzetek

↑ {title} (downlink) . Letöltve: 2018. június 2. Archiválva az eredetiből: 2006. szeptember 12. (határozatlan)
↑ {title} (downlink) . Letöltve: 2018. június 2. Archiválva az eredetiből: 2006. szeptember 12. (határozatlan)

Linkek

PlanetMath, Felosztás és elágazás számmezőkben és Galois kiterjesztések , < http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6818 >
William Stein, Rövid bevezetés a klasszikus és adelikus algebrai számelméletbe , < http://www.williamstein.org/papers/ant/ >

Irodalom

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. — M .: Mir, 1987. — 428 p.