Üres készlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az üres halmaz ( matematikában ) olyan halmaz , amely nem tartalmaz egyetlen elemet sem . A térfogat axiómájából következik , hogy csak egy halmaz rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Az üres halmaz a (triviális) részhalmaza , de nem eleme.

Az üres halmaz véges halmaz , és az összes halmaz közül a legkisebb számossággal rendelkezik. Az üres halmaz az egyetlen halmaz, amelynek a vele egyenértékű halmazok osztálya egyetlen elemből áll (maga az üres halmaz). Ezenkívül az üres halmaz az egyetlen halmaz, amelynek pontosan 1 részhalmaza van (önmagában), és az egyetlen halmaz, amely egyenértékű bármely részhalmazával.

Az üres halmaz triviálisan eldönthető (és így felsorolható és aritmetikai ), tranzitív és jól rendezett (bármilyen sorrendi reláció esetén). Az üres halmaz a legkisebb sorszám és a legkisebb kardinális szám . A topológiában az üres halmaz zárt és nyitott is .

$\ban ben$ -lánc egy tetszőleges halmazból indulva, amelynek minden következő tagja az előző eleme, véges számú lépés után mindig üres halmazzal végződik (lásd szabályossági axióma ). Így az üres halmaz az az építőelem, amelyből az összes többi halmaz épül.

A halmazelmélet egyes megfogalmazásaiban az üres halmaz létezését feltételezik (lásd az üres halmaz axiómáját ), másokban pedig igazolják.

Az üres halmaz rendkívül fontos szerepet játszik a matematikában. [egy]

Üres halmaz jelölése

Az üres halmazt általában , vagy jelöli . Ritkábban az üres halmazt a következő szimbólumok egyike jelöli: és [2] . $\varnothing$ $\üres készlet$ $\{\}$ $\lambda$ $0$

A és szimbólumokat a Bourbaki csoport (nevezetesen André Weil ) vezette be 1939-ben. A prototípus a dán-norvég ábécé [3] Ø betűje volt . $\varnothing$ $\üres készlet$

Az "üres halmaz" karakter Unicode -ban ( U+ 2205 ∅ üres halmaz ) [4] van ábrázolva, és bár normál billentyűzeteken nem érhető el, a billentyűzetről beírható:

HTML -ben mint &üres; vagy ∅
a LaTeX - ben a kódja a \varnothing (a karaktert az \emptyset kódolja ) $\üres készlet$
a Microsoft Wordben a karakterek a + gomb beírásával 2205és lenyomásával érhetők elAltX
Windows rendszeren az Alt Alt + kóddal8709
az X Window System rendszert használó rendszereken ( Unix / Linux / ChromeOS stb.), a Ctrl+ ⇧ Shift+ kombinációval u 2205Пробелvagy a Compose billentyűvel az Compose{}[5] billentyű megnyomásával .

Az olyan nyelvű szövegekben, mint például a dán vagy a norvég, ahol az üres halmaz karakter összetéveszthető az ábécé Ø betűjével (a nyelvészetben használt), az U+ 29B0 ⦰ fordított üres halmaz (HTML ⦰) [6] Unicode karakter használható. helyette .

Az üres halmaz tulajdonságai

Nincs halmaz az üres halmaz eleme. Más szóval, és különösen . $\forall a\ (a\notin \varnothing )$ $\varnothing \notin \varnothing$
Az üres halmaz bármely halmaz részhalmaza . Más szóval, és különösen . $\forall a\ (\varnothing \subseteq a)$ $\varnothing \subseteq \varnothing$
Az üres halmaz és bármely halmaz uniója megegyezik az utolsó [meghatározott halmazzal]. Más szóval, és különösen . $\forall a\ (\varnothing \cup a=a)$ $\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$
Az üres halmaz metszéspontja bármely halmazzal egyenlő az üres halmazzal. Más szóval, és különösen . $\forall a\ (\varnothing \cap a=\varnothing )$ $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing$
Bármely halmaz metszéspontja a komplementerével egyenlő az üres halmazzal. Más szóval, . $\forall a\ (a\cap {\overline {a}}=\varnothing )$
Az üres halmaz eltávolítása bármely halmazból megegyezik az utolsó [megadott halmaz] értékével. Más szóval, és különösen . $\forall a\ (a\setminus \varnothing =a)$ $\varnothing \setminus \varnothing =\varnothing$
Bármely halmaz kiesése az üres halmazból egyenlő az üres halmazzal. Más szóval, és különösen . $\forall a\ (\varnothing \setminus a=\varnothing )$ $\varnothing \setminus \varnothing =\varnothing$
Az üres halmaz és bármely halmaz szimmetrikus különbsége megegyezik az utolsó [megadott halmazsal]. Más szóval, és különösen $\forall a\ (\varnothing \triangle a=a\ \land \ a\triangle \varnothing =a)$ $\varnothing \triangle \varnothing =\varnothing$
Az üres halmaz és bármely halmaz derékszögű szorzata egyenlő az üres halmazzal. Más szóval, és különösen . $\forall a\ (\varnothing \times a=\varnothing \ \land \ a\times \varnothing =\varnothing )$ $\varnothing \times \varnothing =\varnothing$
Az üres halmaz tranzitív. Más szóval hol . $\mathrm {Trans} (\varnothing )$ $\mathrm {Trans} (\varnothing )\Leftrightarrow \forall b\ (b\in \varnothing \to b\subseteq \varnothing )$
Az üres készlet nem fényvisszaverő, szimmetrikus, antiszimmetrikus.
Az üres halmaz egy sorszám . Más szóval hol . $\mathrm {Ord} (\varnothing )$ $\mathrm {Ord} (\varnothing )\Leftrightarrow \mathrm {Trans} (\varnothing )\ \land \ \forall b\ (b\in \varnothing \to \mathrm {Trans} (b))$
Az üres halmaz számossága nulla . Más szóval, . $|\varnothing |=0$
Az üres halmaz mértéke nulla. Más szavakkal, $\mu (\varnothing )=0$

Lásd még

Jegyzetek

↑
Ha a rendszerünkben feltételezett módon bármely halmaz tagjai is halmazok (beleértve az üres halmazt is), és nem egyedek, akkor magától értetődik, hogy ... bármely halmaz egyetlen elsődleges összetevője az üres halmaz.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. A halmazelmélet alapjai. - M .: Mir, 1966. - S. 117.
↑ Rudin, Walter. A matematikai elemzés alapelvei . — 3. - McGraw-Hill, 1976. - P. 300. - ISBN 007054235X .
↑ A halmazelmélet és -logikai szimbólumok legkorábbi felhasználásai . — A halmazelméleti és -logikai szimbólumok megjelenésének története. Hozzáférés dátuma: 2010. szeptember 28. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 21..
↑ Az Unicode szabvány 13.0-s verziója . Matematikai operátorok, Tartomány: 2200–22FF (angol) (PDF) . Unicode Inc (2020) . Letöltve: 2020. augusztus 6. Az eredetiből archiválva : 2018. június 12.
↑ Monniaux, David UTF-8 (Unicode) írási szekvencia . — A Compose gombbal beírt karakterek konfigurációs fájlja. Letöltve: 2020. június 25. Az eredetiből archiválva : 2020. augusztus 3.
↑ Például Grønnum, Nina. Fonetik og Fonologi: Almen og dansk: [ dán. ] . — Koppenhága: Akademisk forlag, 2013. — ISBN 978-87-500-4045-3 , 87-500-4045-6.

Irodalom

Stoll R. Halmazok, logika, axiomatikus elméletek. — M .: Mir, 1968. — 231 p.
Nefedov V.N. , Osipova V.A. Diszkrét matematika kurzus. - M. : MAI, 1992. - 264 p. — ISBN 5-7035-0157-X .
Halmos, Paul , Naiv halmazelmélet . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Újranyomta: Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag kiadás). Újranyomta: Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (puhakötésű kiadás).
Jech, Thomas (2002), Halmazelmélet (3. évezred kiadás), Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2
Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2. kiadás), Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0155610392