Térforma

A térforma egy összefüggő teljes Riemann -féle állandó metszeti görbületű sokaság . $k$

Egy térbeli formát gömb alakúnak , euklideszi vagy hiperbolikusnak nevezünk, ha , , , . $k>0$ $k=0$ $k<0$

A metrikus renormalizálás segítségével a térbeli formák osztályozása három esetre redukálható: . $k=-1,0,+1$

Példák

Euklideszi térformák:
- Euklideszi tér .
- Lapos tórusz , ahol a -dimenziós rács ,-ben . $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$ $n$ $\mathbb {E} ^{n}$
- Klein palack lapos metrikával.
- A számára vannak osztályai az orientálható és egy osztálya a nem orientálható, affin nem egyenértékű kompakt euklideszi térformáknak . $n=3$ $6$ $négy$
- Egy kétdimenziós, nem tömör euklideszi térforma, amely nem , homeomorf egy hengerrel vagy egy Möbius-szalaggal . $\mathbb {E} ^{2}$
Szférikus térbeli formák:
- A sugarú gömb a görbület gömb alakú térbeli formája . ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {E} ^{n+1}$ $r>0$ $k=1/r^{2}$
- Lencsetér állandó görbületi metrikával
- Poincaré gömb állandó görbületű metrikával
- Valódi projektív tér állandó görbületű metrikával
Hiperbolikus térbeli formák:
- Lobacsevszkij tér . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$
- A nemzetség kétdimenziós orientált kompakt hiperbolikus térformája a Lobacsevszkij-sík konvex szögéből összeragasztható páronként egyenlő oldalakkal és a szögek összegével egyenlő . A nemzetség dimenziójú , nem izomorf kompakt hiperbolikus térformák családja valós paraméterektől függ . $m$ $4m$ $2\pi$ $2$ $m$ $6m-6$
- A hiperbolikus térformákra példákat ad [1] .

Általános tulajdonságok

A tetszőleges és -nek létezik egy egyedi, legfeljebb izometrikus, -dimenziós , egyszerűen összefüggő térbeli görbületi forma . Ha akkor ez egy -dimenziós sugarú gömb , ha ez egy euklideszi tér , és ha ez egy -dimenziós Lobacsevszkij tér . $n$ $k$ $n$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ $k$ $k>0$ $n$ $1/{\sqrt {k))$ $k=0$ $k<0$ $n$
- Bármilyen dimenziós térbeli görbületi forma univerzális fedése emelt metrikával izometrikus . $n$ $k$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$
- Más szóval, a görbület bármely -dimenziós térbeli formája elérhető szabadon (vagyis fix pontok nélkül) működő, diszkrét mozgáscsoporton végzett faktorizálással; ráadásul két és akkor és csak akkor izometrikus tér , ha és konjugált az összes mozgás csoportjában . Így a térbeli formák osztályozásának problémája a terek összes nem konjugált mozgáscsoportjának leírására redukálódik , és diszkréten és szabadon cselekszik. $n$ $k$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ $\Gamma$ $L=M_{k}^{n}/\Gamma$ $L'=M_{k}^{n}/\Gamma '$ $\Gamma$ $\gamma$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {E} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

A gömb alakú térformák tulajdonságai

A gömb alakú térformák kimerítő osztályozását a [2]

Ha páros, akkor egy fix pont nélküli gömb egyetlen mozgása a központi szimmetria, amely a gömb minden pontját átmérősen ellentétessé alakítja. Az ezzel a mozgással generált csoport feletti hányadostér a valós projektív sík állandó görbületű metrikával ( Riemann-térnek vagy elliptikus térnek is nevezik ). Különösen $n$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=\mathbb {S} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$
- Bármely páros dimenziójú gömbtérforma izometrikus vagy , vagy . $n$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$
Bármely véges ciklikus csoport szolgálhat egy gömbi térforma alapcsoportjaként (lásd lencsetér ).
Ahhoz, hogy egy nem ciklikus rendcsoport egy -dimenziós gömbi térforma alapcsoportjaként szolgáljon, szükséges (de nem elégséges), hogy c másodprím legyen és osztható valamilyen egész szám négyzetével. $N$ $n$ $N$ $n+1$

Az euklideszi térformák tulajdonságai

A kompakt euklideszi térformák alapcsoportjai a krisztallográfiai csoportok speciális esetei .

Bieberbach krisztallográfiai csoporttétele egy tetszőleges dimenziójú kompakt euklideszi térformák szerkezeti elméletéhez vezet:

Bármelyikhez csak véges számú különböző osztálya létezik a nem egyenértékű kompakt euklideszi tér dimenzióformáinak . $n\geq 2$ $n$
Két kompakt euklideszi tér alkot és akkor és csak akkor affin ekvivalens, ha alapcsoportjaik és izomorfok. $M=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ $M'=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma '$ $\Gamma$ $\gamma$
- Például bármely kétdimenziós kompakt euklideszi térforma homeomorf (és ezért affin ekvivalens) vagy egy lapos tórusznak vagy egy lapos Klein-palacknak .
Egy absztrakt csoport akkor és csak akkor szolgálhat egy kompakt euklideszi térforma alapcsoportjaként $\Gamma$ $M^{n}$
1. $\Gamma$ van egy véges indexű normál Abel-alcsoportja, amely izomorf -ra ; $\Gamma ^{*}$ $\mathbb{Z } ^{n}$
2. $\Gamma ^{*}$ -ben lévő központosítójával egybeesik ; $\Gamma$
3. $\Gamma$ nincsenek véges rendű elemei .
- Ha egy ilyen csoport diszkrét részcsoportként valósul meg a tér összes mozgásának csoportjában , akkor az egybeesik a hozzá tartozó párhuzamos eltolódások halmazával , és a teret egy lapos tórusz normál borítja . $\Gamma$ $\mathbb {E} ^{n}$ $\Gamma ^{*}$ $\Gamma$ $M$ $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma ^{*}$
- A véges csoport izomorf a térholonómia csoporttal . $\Gamma /\Gamma ^{*}$ $M^{n}$
Egy kompakt euklideszi térformának mindig van véges holonómiacsoportja .
- A fordított állítás is igaz: egy kompakt Riemann-tér, amelynek holonómiacsoportja véges, lapos.
Bármely véges csoport izomorf valamilyen kompakt euklideszi térforma holonómiacsoportjával.
Bármely nem kompakt euklideszi térforma valós analitikus visszahúzást tesz lehetővé egy kompakt, teljesen geodetikus lapos részsokaságra (lásd lélektétel ) .
- Konkrétan a nem tömör euklideszi térformák alapcsoportjainak osztálya esik egybe a kompakt euklideszi térformák alapcsoportjainak osztályával.

A hiperbolikus térformák tulajdonságai

A dimenzió kompakt hiperbolikus térformái , amelyek izomorf alapcsoportokkal rendelkeznek, izometrikusak. $n\geq 3$

Történelem

A kétdimenziós hiperbolikus térformák tanulmányozása lényegében 1888-ban kezdődött, amikor Poincaré a komplex félsík lineáris-tört transzformációinak diszkrét csoportjait , a fuksziánus csoportokat tanulmányozva észrevette, hogy ezek a Lobacsevszkij -féle mozgáscsoportokként kezelhetők. sík . $Im(z)>0$

Az önkényes állandó görbületű -dimenziós Riemann-terek osztályozási problémáját Killniga Clifford-Klein térformák problémájának nevezte ; ennek a problémának a modern megfogalmazását Hopf (1925) adta meg . $n$

Változatok és általánosítások

A Riemann-féle térformák mellett általánosításaikat is tanulmányozták: pszeudo-Riemanni , affin és összetett térformákat, valamint szimmetrikus terek térformáit .

Irodalom

↑ Vinberg E. B. „Mat. Ült." - 1969, 78. v., 4. sz. - S. 633-39.
↑ Wolf J. Állandó görbületű terek, ford. angolról. - M. , 1982.