Lélek (differenciálgeometria)

A Riemann-féle sokaság lelke egy kompakt , teljesen domború , teljesen geodéziai részsokaság , amely a deformációs visszahúzódása .

Általában azt feltételezik, hogy  egy teljes összekapcsolt Riemann -csonk , amelynek keresztmetszeti görbülete K  ≥ 0.

Példák

• Minden kompakt elosztó a lelke.

• Az R n euklideszi tér bármely pontja a lelke.

• A paraboloidnak M = {( x , y , z ) : z = x 2 + y 2 }, az origó (0,0,0) M lelke . Ráadásul nem egy M -hez tartozó x pont a lelke, hiszen az x pontból indulhatnak geodéziai hurkok .

• Egy végtelen hengerre M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1} bármely "vízszintes" kör {( x , y , z ): x 2 + y 2 = 1} rögzített z -vel a M lelke .

Történelem

A lélek kifejezést Cheeger és Gromol vezette be 1972-ben [1] egy cikkben, ahol különösen bebizonyították a lélektételt . A tétel Gromol és Meyer egy korábbi tételét általánosította [2] . Ugyanebben a cikkben Cheeger és Gromol megfogalmazta a lélekhipotézist . Ennek a sejtésnek egy rövid bizonyítékát Grigory Perelman [3] adta 1994 -ben .

Tulajdonságok

Az alábbiakban feltételezzük, hogy  egy teljes összekapcsolt Riemann-csonk, amelynek metszeti görbülete K  ≥ 0.

• A lélektétel kimondja: Minden ( M ,  g ) rendelkezik S lelke . Ezenkívül az M sokaság különbözik az S feletti normál kötegtől .
• A lelket általában nem határozza meg egyértelműen a sokaság ( M ,  g ), de bármelyik két lélek ( M ,  g ) izometrikus . Ez utóbbit Sharafutdinov 1979 -ben [4] bizonyította az úgynevezett Sharafutdinov-visszahúzás megszerkesztésével ; ez egy 1-Lipschitz deformációs visszahúzás .

• A Sharafutdinov visszahúzás egy Riemann-féle alámerülés . Különösen, ha van legalább egy pontja szigorúan pozitív metszeti görbülettel, akkor a lelke pont, és maga a sokaság homeomorf az euklideszi térrel.

Kapcsolódó nyitott kérdések

• A kettős lélek sejtés kimondja [5] , hogy bármely kompakt, nem negatív metszeti görbületű sokaság lefedhető két lemezköteggel.

Jegyzetek

1. ↑ Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), A nemnegatív görbület teljes sokaságának szerkezetéről , Annals of Mathematics. Második sorozat T. 96: 413-443, MR : 0309010 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970819 
2. ↑ Gromoll, Detlef és Meyer, Wolfgang (1969), A pozitív görbület teljes nyitott sokaságáról , Annals of Mathematics. Második sorozat T. 90: 75-90, MR : 0247590 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970682 
3. ↑ Perelman, Grigori (1994), Cheeger és Gromoll léleksejtésének bizonyítása , Journal of Differential Geometry 40(1): 209-212, MR : 1285534 , ISSN 0022-040X , < http://www.intlpress .com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf > . Letöltve: 2011. július 23. Archiválva : 2011. július 23. a Wayback Machine -nél 
4. ↑ Sharafutdinov, VA (1979), Konvex halmazokon nem-negatív görbületű sokaságban , Mat. jegyzetek T. 26 (1): 129-136 
5. ↑ K. Grove, A szimmetriák és a szimmetriák geometriája