Eisenstein prímszám

Eisenstein-prímszám  - Eisenstein- szám :

,

amely a gyűrűelmélet értelmében Z [ω] irreducibilis (vagy azzal egyenértékű egyszerű ) eleme . Az Eisenstein-prímek osztói csak invertálható elemek (±1, ±ω, ±ω 2 ), a + b ω és ezek szorzatai.

Az invertálható szorzás és bármely Eisenstein-prím konjugálása is Eisenstein-prím.

Egy z = a + b ω Eisenstein-egész akkor és csak akkor Eisenstein-prím, ha az alábbi, egymást kizáró feltételek egyike teljesül:

  1. z egy invertálható elem és egy 3 n − 1 alakú természetes prím szorzata ,
  2. | z | 2 = a 2 − ab + b 2 természetes prím (összehasonlítható 0 vagy 1 modulo 3-val).

Ebből következik, hogy bármely Eisenstein-egész négyzetének abszolút értéke vagy prímszám, vagy prímszám négyzete.

Több első Eisenstein-prím, amely egyenlő a 3 n − 1 természetes prímekkel:

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 ( OEIS szekvencia A003627 ).

A 0-val vagy 1-gyel kongruens természetes prímek 3. modullal nem Eisenstein-prímek: Z [ω] -ben nem triviális tényezőkké alakíthatók . Példák:

3 = −(1 + 2ω) 2 7 = (3 + ω)(2 − ω).

Néhány nem természetes Eisenstein prím:

2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.

A konjugálásig és az egységekkel való szorzásig a fenti számok 2-vel és 5-tel együtt mind olyan Eisenstein-prímszámok, amelyek abszolút értéke nem haladja meg a 7-et .

2017-ben a legnagyobb ismert valódi Eisenstein-prím 10223 × 2 31172165 + 1, amelyet a PrimeGrid projekt fedezett fel [1] .

Minden ismert nagy prím Mersenne-prím , és a GIMPS segítségével találták meg . A valódi Eisenstein-prímek egybevágóak 2 modulo 3-al, a Mersenne-prímek pedig (kivéve a legkisebbet és a 3-ast) egybevágóak 1 modulo-3-mal. Így egyetlen Mersenne-prím sem Eisenstein-prím.

Lásd még

Linkek

  1. ↑ Chris Caldwell, " The Top Twenty: Largest Known Primes Archivált : 2018. június 12., a Wayback Machine " a The Prime Pages -től . Letöltve 2017-03-14.