Csökkentett tömeg

A csökkentett tömeg a tömegek eloszlásának feltételes jellemzője mozgó mechanikus vagy vegyes (például elektromechanikus) rendszerben, a rendszer fizikai paramétereitől (tömegek, tehetetlenségi nyomatékok , induktivitás stb.) és a rendszer fizikai paramétereitől függően . mozgástörvénye [1 ] .

Általában a redukált tömeget az egyenlőségből határozzák meg , ahol a rendszer kinetikus energiája , és a rendszer azon pontjának sebessége , amelyre a tömeg csökken. Általánosabb formában a redukált tömeg a tehetetlenségi együttható a stacionárius kényszerekkel rendelkező rendszer kinetikai energiájának kifejezésében , amelynek helyzetét általánosított koordináták határozzák meg : $\mu$ $T=\mu v^{2}\,/2$ $T$ $v$ $\mu _{{ij}}$ $n$ ${\displaystyle r_{i))$

2T=\sum _{i,\,j=1}^{n}\mu _{ij}\,{\pont {r_{i))}{\pont {r_{j))}\ ,,

ahol a pont időbeli differenciálást jelent , és általánosított koordináták függvényei . $\mu _{ij}\$

Kéttestű probléma

A kéttest problémában , amely például az égi mechanikában vagy a szóráselméletben merül fel, a csökkentett tömeg valamiféle effektív tömegként jelenik meg, amikor a kéttest problémát egy testre vonatkozó két problémára redukáljuk. Tekintsünk két testet: az egyik tömegű , a másik tömegű . Az ekvivalens egytest problémában egy csökkentett tömegű test mozgását egyenlőnek tekintjük $m_{1}\$ $m_{2}\$

\mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1 }+m_{2}}}\ ,

ahol az erre a tömegre ható erőt a két test között ható erő adja. Látható, hogy a redukált tömeg egyenlő a két tömeg harmonikus átlagának felével.

A csökkentett tömeg mindig kisebb az egyes tömegeknél , vagy egyenlő nullával, ha az egyik tömeg egyenlő nullával. Legyen a tömeg sokkal kisebb, mint a tömeg ( ), akkor a redukált tömeg közelítő kifejezése a következő lesz $m_{1}\$ $m_{2}\$ $m_{2}\$ $m_{1}$ $m_{2}\ll m_{1}$

\mu ={\frac {m_{2}}{1+m_{2}/m_{1}}}\kb. m_{2}(1-{\frac {m_{2}}{m_{ 1))})\approx m_{\mathrm {2} }\ .

Newtoni mechanika

Newton második törvényét felhasználva megállapítható, hogy a 2. test hatását az 1. testre az erő adja.

\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.

Az 1. test erővel hat a 2. testre

\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.

Newton harmadik törvénye értelmében ez a két erő egyenlő és ellentétes irányú:

\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.

Így van

{\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2))

vagy

\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.

Ekkor a két test közötti relatív gyorsulást a

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2}}}\right )\mathbf {a} _{1}={{m_{2}+m_{1}} \több mint {m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}= {\mathbf {F} _{12} \over \mu }.

Ekkor arra a következtetésre juthatunk, hogy az 1 test a 2. test helyzetéhez képest (és a 2. test erőhatási területén) a csökkentett tömeggel egyenlő tömegű testként mozog . $\mu$

Lagrange mechanika

A kéttest-probléma a Lagrange-féle megközelítésben is leírható . A Lagrange-függvény a kinetikus és a potenciális energia közötti különbség. Ebben a feladatban ez

L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r)) _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r }} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)

ahol az i -edik tömegű részecske sugárvektora . A potenciális energia a részecskék távolságától függ. Határozzuk meg a vektort ${\mathbf {r}}_{i}$ $m_{i}$

{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))

és a tömegközéppont határozza meg a vonatkoztatási rendszert

m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0

Ezután a tömegpozícióvektorok újradefiniálásra kerülnek $m_{i}$

\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2))},\,\,\mathbf {r} _ {2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2))}.

Ezután az új Lagrange függvény átírható a következőre

L={1 \over 2}\mu \mathbf {\pont {r)) ^{2}-V(r),

ahonnan látható, hogy két test problémáját egy test mozgásának problémájára redukálták.

Alkalmazás

A csökkentett tömeg összefüggésbe hozható általánosabb algebrai kifejezésekkel , amelyek meghatározzák a rendszer elemeinek kapcsolatát, és a formája

\ {1 \over x_{\text{eq}}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+ {1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}\ ,

ahol a rendszer i -edik elemének karakterisztikája (például egy ellenállás ellenállása egy párhuzamos áramkörben ), az n elemből álló teljes rendszer ekvivalens jellemzője (például egy párhuzamos szakasz impedanciája az áramkör). Az ilyen jellegű kifejezések a fizika számos területén megjelennek . $x_{i}\$ $x_{eq}\$

A csökkentett tömeg fogalma megtalálható a mérnöki tudományokban , például a szerkezetek lökésterhelésre való számításakor [2] .

Jegyzetek

↑ S. M. Targ . Csökkentett tömeg // Fizikai enciklopédia : [5 tonnában] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - S. 110. - 704 p. - 40.000 példány. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ A.I. Rusakov A csökkentett tömegek helyes kiszámítása ütközéskor . Vestnik RGUPS, 2003. 2. szám . Hozzáférés dátuma: 2010. január 18. Az eredetiből archiválva : 2012. február 19. (határozatlan)

Linkek

Csökkentett tömeg a HyperPhysicsnél Archiválva : 2006. december 16. a Wayback Machine -nél

Lásd még

Két test probléma