Geodéziai koordinátarendszerek átalakítása

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. szeptember 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 8 szerkesztést igényelnek .

A geodéziában a különböző koordinátarendszerek közötti átmenet feladata több koordináta-rendszer létezéséből adódik, amelyek az idők során világszerte felmerültek. Elkerülhetetlen a különböző koordinátarendszerek alkalmazása a geodéziai , térképészeti , navigációs és földrajzi információs rendszerek gyakorlati problémáinak megoldásában . Többféle koordináta-transzformáció létezik: átmenet a különböző koordinátaformátumok között , átmenet a különböző koordináta-rendszerek és térképi vetületek között, valamint a nullapont -transzformáció . Ebben a cikkben az összes ilyen típusú átalakításról lesz szó. [egy]

A formátum és a mértékegységek módosítása

Egy földrajzi hely kijelölése általában a hely szélességi és hosszúsági fokának közlését jelenti . A szélességi és hosszúsági fokok számértékei többféle mértékegységben és formátumban is ábrázolhatók: [2]

hatszázalékos : fok, perc és másodperc: 40° 26′ 46″ É 79° 58′ 56″ ny

fok és tizedesperc: 40° 26,767′ é. 79° 58,933′ ny

tizedes fok : 40,446° é. sz. 79,982° ny

Egy fokban 60 perc, egy percben 60 másodperc van. Ezért a fok/perc/másodperc értékről decimális fokra konvertálásához használhatja a következő képletet:

decimális fok=fok+perc/60+másodperc/3600.

A decimális fokos formátumról a fok/perc/másodperc formátumra való visszaváltáshoz használhatja a képleteket:

fok = [tizedes fok]

perc =[60*(tizedes fok-fok)]

másodperc =3600*(tizedes fok-fok)-60*perc

ahol az [ x ] jelölés azt jelenti, hogy ki kell venni az x egész részét , és hivatkozni kell a „ polcfüggvényre ”.

Átmenet a különböző koordinátarendszerek között

A koordinátarendszer - transzformáció az egyik koordinátarendszerből a másikba való átmenet, mindkét koordinátarendszer ugyanazon a geodéziai adatponton alapul. Az átalakítási feladat gyakran az, hogy geodéziai koordinátarendszerről derékszögű koordinátára váltsunk, vagy egyik térképi vetületről a másikra váltunk.

Geodéziai koordinátarendszerből téglalap alakúra

A térben lévő pontok derékszögű koordinátáit ezen pontok ismert geodéziai koordinátáiból (B szélesség, L hosszúság, H magasság) a következő képletekkel számíthatjuk ki: [3]

{\begin{aligned}X&=\left(N(B)+H\right)\cos {B}\cos {L}\\Y&=\left(N(B)+H\right)\ cos {B}\sin {L}\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(B)+H\right)\sin {B}\end {igazított}}

ahol

N(B)={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}B+b^{2}\sin ^{2}B}}} ={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}B}}},

ahol és az egyenlítői (fél-nagytengely), illetve a poláris sugarak (fél-kistengely). az ellipszoid első excentricitásának négyzete. az elsõ függõleges görbületi sugara az ellipszoid felületének és a normálisnak az oZ tengelyre való metszéspontjától a normál mentén mért távolság az ellipszoidtól (1. ábra ) . $a$ $b$ ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2))))$ ${\megjelenítési stílus \,N(B)}$

A derékszögűtől a geodetikusig

A téglalap alakú térkoordinátákról egy geodéziai koordinátarendszerre (például WGS84 ) való áttéréskor a B geodéziai szélességeket és a H magasságokat gyakran iteratív módon, azaz egymást követő közelítések végrehajtásával kell kiszámítani. Ami az L hosszúságot illeti, azokat a szokásos módon számítják ki.

Számos módszer létezik a geodéziai szélességek és magasságok kiszámítására, ezek közül kettőt fogunk figyelembe venni.

Newton-Raphson módszer

A következő irracionális Bowring-egyenlet [4] geodéziai szélességre a Newton-Raphson iteratív módszerrel van megoldva : [5] [6]

$\kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+(1-e^{2})Z^{2}\kappa ^{2 }}}}=0,$

hol , ${\displaystyle p={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

A B szélesség megtalálható az egyenletből . $\kappa ={\frac {p}{Z}}\tan(B)$

A H magasság kiszámítása a következőképpen történik:

$H=e^{-2}(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\ kappa ^{2}}}.$

Az iteráció a következő formára konvertálható:

$\kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3)) {c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i} ^{3}}{c_{i}-p^{2}}},$

ahol $c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\ jobbra)^{3/2}}{ae^{2}}},$ $\kappa _{0}=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.$

A konstans jó kezdőérték egy iterációhoz, amikor . Bowring kimutatta, hogy ilyen esetekben már az első iteráció kellően pontos megoldást ad. Eredeti megfogalmazásában további trigonometrikus függvényeket alkalmazott. $\,\kappa _{0}$ $H\approx 0$

Ferrari döntés

A fenti egyenlet a Ferrari módszerrel megoldható : [7] [8] $\kappa$

${\begin{aligned}\zeta &=(1-e^{2})z^{2}/a^{2},\\[6pt]\rho &=(p^{2}/ a^{2}+\zeta -e^{4})/6,\\[6pt]s&=e^{4}\zeta p^{2}/(4\rho ^{3}a^{2 }),\\[6pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2))))),\\[6pt]u&=\rho (1+t +1/t),\\[6pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta )),\\[6pt]w&=e^{2}(u+v- \zeta )/(2v),\\[6pt]\kappa &=1+e^{2}({\sqrt {u+v+w^{2}}}+w)/(u+v). \end{igazított}}$

A Ferrari döntésének alkalmazása

Számos módszer és algoritmus létezik, de Zhu [9] szerint a legpontosabb a Heikkinen [10] által felállított következő sorrend . Feltételezzük, hogy a geodéziai paraméterek ismertek.

${\begin{matrix}r&=&{\sqrt {X^{2}+Y^{2))}\\e'^{2}&=&(a^{2}-b^{ 2})/b^{2}\\F&=&54b^{2}Z^{2}\\G&=&r^{2}+(1-e^{2})Z^{2}-e^ {2}(a^{2}-b^{2})\\c&=&{\frac {e^{4}Fr^{2}}{G^{3}}}\\s&=&{ \sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c))))\\P&=&{\frac {F}{3\left(s+{\frac {1}{ s}}+1\jobbra)^{2}G^{2}}}\\Q&=&{\sqrt {1+2e^{4}P}}\\r_{0}&=&{\frac {-(Pe^{2}r)}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+1/Q\right)-{ \frac {P(1-e^{2})Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pr^{2}}}\\U&= &{\sqrt {(re^{2}r_{0})^{2}+Z^{2))}\\V&=&{\sqrt {(re^{2}r_{0})^{ 2}+(1-e^{2})Z^{2}}}\\z_{0}&=&{\frac {b^{2}Z}{aV}}\\H&=&U\left (1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\B&=&\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{r} }\right]\\L&=&\arctan 2[Y,X]\end{mátrix}}$

Megjegyzés: arctan2 [Y, X] a négy kvadráns hátsó érintője.

Teljesítménysorozat

A kis e 2 -nél a teljesítménysor tól indul $\kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}$

\alpha _{0}=1;

\alpha _{1}={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2))));

\alpha _{2}={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2))}+2a^{2}p^{2)){2 (Z^{2}+p^{2})^{2}}}.

Átmenet a geodéziai koordinátarendszerről az ENU-ra és fordítva

A geodéziai koordinátákról az ENU topocentrikus koordinátáira történő átalakítás két lépésből áll:

Koordináták konvertálása geodéziai rendszerből téglalap alakúra.
Koordinátakonverzió téglalapból topocentrikus ENU koordinátarendszerbe.

Koordináták konvertálása téglalapból topocentrikus ENU-koordinátákba

A derékszögű koordináták topocentrikus koordinátákká alakításához ismernie kell a topocentrikus koordinátarendszer kezdőpontját, általában valamilyen megfigyelési ponton található. Ha a megfigyelést a pontban végezzük , és a megfigyelt objektum a pontban van, akkor ennek az iránynak a sugárvektora az ENU koordinátarendszerben a következő alakú: $\{X_{r},Y_{r},Z_{r}\}$ $\{X_{p},Y_{p},Z_{p}\}$

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin L_{r}&\cos L_{r}&0\\-\ sin B_{r}\cos L_{r}&-\sin B_{r}\sin L_{r}&\cos B_{r}\\\cos B_{r}\cos L_{r}&\cos B_ {r}\sin L_{r}&\sin B_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\ Z_{p}-Z_{r}\end{bmátrix}}

Koordináták átalakítása ENU topocentrikus koordinátarendszerből téglalap alakúra.

A téglalap alakú rendszer koordinátáinak fordított transzformációjával topocentrikus koordinátarendszert kapunk:

${\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \ phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \end{bmatrix}}{\ kezdődik{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}$

Váltás másik térképvetítésre

A koordináták és pozíciók konvertálása a térképen a különböző , ugyanahhoz a geodéziai felülethez kötött térképi vetületek között történhet az egyik vetületből a másikba való közvetlen átmenet képleteivel, vagy először a vetületet egy közbülső koordinátarendszerré konvertálják, például téglalap alakúra, és már onnan a vetületbe . Az alkalmazott képletek összetettek lehetnek, esetenként az átalakításnak nincs zárt alakú megoldása, közelítő módszereket kell alkalmazni. Általában számítógépes programokat használnak koordináta-transzformációs feladatok végrehajtására, például a DoD és az NGA által támogatott GEOTRANS programmal. [tizenegy] $A$ $B$

Nullaponttranszformációk

A dátumok közötti transzformáció többféleképpen is elvégezhető. Vannak olyan transzformációk, amelyek lehetővé teszik, hogy egy nullapont geodéziai koordinátáiról közvetlenül egy másik nullapont geodéziai koordinátáira térjünk át. Vannak kevésbé közvetlen átmenetek, amelyek a geodéziai koordinátákat geocentrikussá (ECEF), a geocentrikus koordinátákat egyik nullpontról a másikra konvertálják, majd egy másik adatpont geocentrikus koordinátáit visszafordítják geodéziaivá. Léteznek olyan vetületi transzformációk is, amelyek lehetővé teszik az egyik (nullapont, vetületi) párról a másikra (nullapont, vetítés) való közvetlen átmenetet.

Vetítési transzformációk

A vetületi transzformációk lehetővé teszik, hogy közvetlen átmenetet hajtson végre a térképen lévő koordinátákról egy (térképi vetület, dátum) pár esetén a térképen lévő koordinátákra egy másik (térképi vetület, dátum) pár esetében. Példa erre a NADCON módszer az 1927-es észak-amerikai adatról (NAD) az 1983 -as NAD adatra [12] . A High Accuracy Reference Network (HARN), a NADCON transzformációk nagy pontosságú változata, körülbelül 5 centiméteres pontossággal rendelkezik. A National Transformation 2-es verziója ( NTv2 ) a NADCON kanadai verziója, amely a NAD 1927 és a NAD 1983 közötti átmenetre szolgál . A HARN módszerek NAD 83/91 és High Precision Grid Networks (HPGN) néven is ismertek [13] . Ezt követően Ausztrália és Új-Zéland elfogadta maguknak az NTv2 formátumot, hogy saját helyi adataik közötti átmenetekhez projekciós transzformációs módszereket hozzanak létre.

A többszörös regressziós egyenleteket használó transzformációkhoz hasonlóan a vetítési módszerek is alacsony rendű interpolációt használnak a térképkoordináták transzformációjához, de három helyett két térben. A NOAA szoftvert biztosít (az NGS Geodetic Toolkit részeként) a NADCON transzformációk előállításához. [14] [15]

Molodensky átalakulása

A Molodensky-transzformáció lehetővé teszi, hogy közvetlen átmenetet hozzon létre a különböző adatpontok geodéziai koordinátái között anélkül, hogy közbenső átmenetre lenne szükség a geocentrikus koordinátákra. [16] Három eltolást igényel a koordinátarendszerek középpontjai, valamint a fél-főtengelyek és a referenciaellipszoidok tömörítési paraméterei közötti különbségek.

A Molodensky transzformációt az Országos Térinformatikai Hírszerző Ügynökség (NGA) használja a TR8350.2 számú fehér könyvében, valamint az NGA által támogatott GEOTRANS programban. [17] A Molodensky-transzformáció a modern számítógépek megjelenése előtt népszerű volt, és a módszer számos geodéziai program része.

Több regressziós egyenlet

Az empirikus többszörös regressziós módszerekkel végzett nullponttranszformációkat úgy tervezték, hogy kisebb földrajzi régiókra nagyobb pontosságot érjenek el, mint a standard Molodensky-transzformációk. Az átalakítási adatok a kontinensekre vagy kisebb régiókra generált helyi adatok globális adatpontokká, például WGS 84 -be való konvertálására szolgálnak . [18] A NIMA TM 8350.2, D függelék [19] több regressziós egyenletet használó transzformációkat sorol fel több lokális adatból a WGS 84 -be, körülbelül 2 méteres pontossággal. [húsz]

A többszörös regressziós egyenletek módszere lehetővé teszi a geodéziai koordináták közvetlen transzformációját anélkül, hogy közbenső átalakítást végeznénk geocentrikus koordinátákká. Az új B adatpont geodéziai koordinátái polinomként vannak modellezve az eredeti A geodéziai koordináták kilencedik fokáig. Például a növekmény a következőképpen bontható fel (csak a másodfokú bővítés látható): $\phi _{B},\lambda _{B},h_{B}$ $\phi _{A},\lambda _{A},h_{A}$ $\phi _{B}$

$\Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2} +\cdots$

ahol

${\begin{aligned}a_{i}&={\mbox{paraméterek többszörös regresszióval illeszkedve}}\\U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&= K (\lambda _{A}-\lambda _{m})\\K&={\mbox{méretező}}\\\phi _{m},\lambda _{m}&={\mbox{datum start }}A\\\end{igazított}}}$

számára és hasonló egyenletek épülnek fel. Elegendő számú koordinátapár (A, B) esetén mindkét adatpontban a jó statisztika érdekében többszörös regressziós módszereket alkalmaznak e polinomok paramétereinek illesztésére. A polinomok az illesztett együtthatókkal együtt alkotják a többszörös regressziós egyenleteket. $\Delta \lambda$ $\Delta h$

Helmert transzformáció

A Helmert-transzformáció használata , amikor egy nullapont geodéziai koordinátáiról a nullapont geodéziai koordinátáira lép, három lépésből áll: $A$ $B$

1 Konvertálja a nullapont geodéziai koordinátáit geocentrikussá; $A$

2 A Helmert-transzformáció alkalmazása a megfelelő transzformációs paraméterekkel , hogy a geocentrikus nullapont koordinátákról a geocentrikus nullapont koordinátákra lépjünk ; $A-tól B-ig$ $A$ $B$

3 Geocentrikus koordináták átalakítása nullapont geodéziai koordinátáivá . $B$

Geocentrikus XYZ koordináták esetén a Helmert transzformáció a következő formában van: [21]

${\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\ c_{z}\end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&- r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmátrix }}.$

A Helmert-transzformáció egy hét elemű transzformáció három eltolási paraméterrel , három elforgatási paraméterrel és egy skálaparaméterrel . A Helmert-transzformáció egy közelítő módszer, amely csak akkor tekinthető pontosnak, ha a transzformációs paraméterek kicsik a geocentrikus koordináta-rendszer vektorainak értékéhez képest. Ilyen körülmények között az átalakulás reverzibilisnek tekinthető. [22] ${\displaystyle c_{x},c_{y},c_{z))$ ${\displaystyle r_{x},r_{y},r_{z))$ $s$

A tizennégy paraméteres Helmert-transzformáció, amely minden paraméterhez lineáris időfüggő, felhasználható a földrajzi koordináták időbeli változásának megfigyelésére olyan geomorfológiai folyamatok miatt, mint a kontinens-sodródás [23] és a földrengések . [24] Olyan szoftverré alakították át, mint például a Horizontal Time Dependent Positioning (HTDP) eszköz az amerikai NGS szoftverben. [25]

Molodensky-Badekas átalakulás

A Helmert-transzformációs eltolások és elforgatások szétválasztásához három további paraméter használható, hogy egy új XYZ forgatási középpont közelebb kerüljön a transzformálandó koordinátákhoz. Ezt a tízparaméteres transzformációt Molodensky-Badekas transzformációnak nevezik, és nem szabad összetéveszteni az egyszerűbb Molodensky transzformációval .

A Helmert transzformációhoz hasonlóan a Molodensky-Badekas transzformáció három lépésből áll:

Egy nullapont geodéziai koordinátáinak átalakítása geocentrikussá. $A$
A Molodensky-Badekas transzformáció alkalmazása a megfelelő transzformációs paraméterekkel , hogy a geocentrikus nullapont koordinátákról a geocentrikus nullapont koordinátákra lépjünk át . $A-tól B-ig$ $A$ $B$
Konvertálja a geocentrikus koordinátákat egy nullapont geodéziai koordinátáivá . $B$

A transzformáció alakja [26] :

{\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\ Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{ bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix} X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+ \Delta S{\begin{bmátrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{ 0}\end{bmatrix}}.

ahol a megfordítási és léptéktranszformáció origója, valamint a léptéktényező.

(X_{A}^{0},~Y_{A}^{0},~Z_{A}^{0})

\Delta S

A Molodensky-Badekas transzformációt arra használják, hogy a helyi geodéziai dátumokat globális adatokká alakítsák át, mint például a WGS 84 . A Helmert transzformációtól eltérően a Molodensky-Badekas transzformáció visszafordíthatatlan, mivel a megfordítás origója az eredeti dátumra vonatkozik.

Lásd még

Geodéziai koordinátarendszer
Téglalap alakú koordinátarendszer
A térképi vetületek listája
Gauss-Kruger vetület
Univerzális keresztirányú Mercator
Átmenet a különböző koordinátarendszerek között

Irodalmi hivatkozások

↑ Roger Foster Dan Mullaney Alapvető geodéziai cikk 018: Konverziók és átalakítások (2014. március 4.). Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2020. november 27. (határozatlan)
↑ Nagy-Britannia hadianyag-felmérés. koordináta transzformátor . Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2013. augusztus 12. (határozatlan)
↑ B. Hofmann-Wellenhof H. Lichtenegger J. Collins. GPS - elmélet és gyakorlat. — 282 p. — ISBN 3-211-82839-7 .
↑ Bowring BR átalakítása térbeli koordinátákról földrajzi koordinátákra // Surv. Rev.. - 1976. - V. 23 , 181. sz . - S. 323-327 . - doi : 10.1179/003962676791280626 .
↑ Fukushima, T. Fast Transform from Geocentric to Geodetic Coordinates // J. Geod. : folyóirat. - 1999. - 1. évf. 73 , sz. 11 . - P. 603-610 . - doi : 10.1007/s001900050271 . (B. függelék)
↑ Sudano, JJ (1997). "Pontos konverzió a Föld-központú koordinátarendszerről szélességre, hosszúságra és magasságra". doi:10.1109/NAECON.1997.622711
↑ Közvetlen transzformáció geocentrikusról geodéziai koordinátára // Vermeille, HH J. Geod .. - 2002. - T. 76 . - S. 451-454 . - doi : 10.1007/s00190-002-0273-6 .
↑ Irene PoloBlanco Gonzalez-Vega. Vermeille és Borkowski polinomok szimbolikus elemzése 3D derékszögű koordinátákká alakításához // J. Geod.. - 2009. - V. 83 . - S. 1071-1081 . - doi : 10.1007/s00190-009-0325-2 .
↑ J. Zhu. Földközéppontú, Földhöz rögzített koordináták konvertálása geodéziai koordinátákká // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. - 1994. - T. 30 . - S. 957-961 . - doi : 10,1109/7,303772 .
↑ M.Heikkinen. Geschlossene formeln zur berechnung räumlicher geodätischer koordinaten aus rechtwinkligen koordinaten // Z. Vermess .. - 1982. - T. 107 . - S. 207-211 .
↑ MSP GEOTRANS 3.3 (földrajzi fordító) (lefelé irányuló kapcsolat) . NGA: Coordinate Systems Analysis Branch. Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2014. március 15. (határozatlan)
↑ ArcGIS Súgó 10.1: Grid alapú módszerek . ESRI. Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2019. december 4.. (határozatlan)
↑ NADCON/HARN Nullaponteltolási módszer . bluemarblegeo.com. Hozzáférés dátuma: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2014. március 6. (határozatlan)
↑ NADCON - 4.2-es verzió . NOAA. Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2021. május 6.. (határozatlan)
↑ Donald M. Mulcare. NGS Toolkit, 8. rész: Az Országos Geodéziai Felmérés NADCON eszköze (nem elérhető link) . Szakmai Földmérő Magazin. Az eredetiből archiválva: 2014. március 6. (határozatlan)
↑ ArcGIS Súgó 10.1: Egyenlet alapú módszerek . ESRI. Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2019. december 4.. (határozatlan)
↑ Nullaponttranszformációk . Országos Térinformatikai Hírszerző Ügynökség. Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2014. október 9.. (határozatlan)
↑ Felhasználói kézikönyv a WGS 84-et érintő nullapont-transzformációkról(3. kiadás), Különkiadvány sz. 60, Monaco: International Hydrographic Bureau, 2008. augusztus , < https://web.archive.org/web/20160412230130/http://www.iho.int/iho_pubs/standard/S60_Ed3Eng.pdf > . Letöltve: 2017. január 10 .
↑ VÉDELMI OSZTÁLY VILÁGGEODÉZIAI RENDSZER 1984 Definíciója és kapcsolatai a helyi geodéziai rendszerekkel . Nemzeti Képalkotási és Térképészeti Ügynökség (NIMA). Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2014. április 11. (határozatlan)
↑ Taylor Chuck. Nagy pontosságú nullapont-transzformációk . Hozzáférés dátuma: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2013. január 4. (határozatlan)
↑ Nullaponttranszformációhoz használt egyenletek . Földinformáció Új-Zéland (LINZ). Hozzáférés dátuma: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2014. március 6. (határozatlan)
↑ Geomatikai útmutatás 7. szám, 2. rész Koordinátakonverziók és -transzformációk, beleértve a képleteket (a hivatkozás nem elérhető) . Olaj- és Gáztermelők Nemzetközi Szövetsége (OGP). Az eredetiből archiválva: 2014. március 6. (határozatlan)
↑ Paul Bolstad. GIS Fundamentals, 4. kiadás . — Atlasz könyvek. — 93 p. - ISBN 978-0-9717647-3-6 .
↑ Kiegészítés a NIMA TR 8350.2-hez: A világ geodéziai rendszerének megvalósítása 1984 (WGS 84) G1150 referenciakeret . Országos Térinformatikai Hírszerző Ügynökség. Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2012. május 11. (határozatlan)
↑ HDDP - Vízszintes időfüggő pozicionálás . US National Geodetic Survey (NGS). Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2019. november 25. (határozatlan)
↑ Molodensky-Badekas (7+3) Átváltozások . National Geospatial Intelligence Agency (NGA). Letöltve: 2019. december 9. Az eredetiből archiválva : 2013. július 19. (határozatlan)