Hartley átalakul

Hartley-transzformáció (Hartley-transzformáció) - integrál transzformáció , amely szorosan kapcsolódik a Fourier-transzformációhoz , de az utóbbitól eltérően néhány valós függvényt más valós függvényekké alakít át. Az átalakítást a Fourier-transzformáció alternatívájaként javasolta R. Hartley 1942 - ben . A Hartley-transzformáció a Fourier-transzformációk számos jól ismert típusának egyike. A Hartley transzformáció meg is fordítható.

A Hartley transzformáció diszkrét változatát Ronald Bracewell mutatta be1983 - ban .

Definíció

Közvetlen konverzió

A Hartley-transzformációt a képlet számítja ki $H(\omega )$

H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{ -\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,

ahol

{\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})= {\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4)))

- Hartley mag .

Fordított transzformáció

Az inverz transzformációt az involúciós elv alapján kapjuk :

f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}

Pontosítások

Ahelyett, hogy ugyanazokat a képleteket használná az előre és az inverz transzformációhoz, megadhat egy tényezőt az inverzhez, és ugyanazt a tényezőt veheti ki az előre irányuló Hartley-transzformációból. Ezt az utat aszimmetrikus normalizálásnak nevezzük ; ${\frac {1}{2\pi }}$
Használhatja az együtthatót ahelyett , hogy az együtthatót teljesen elhagyja ; $2\pi \nu t$ $\omega t$ ${\frac {1}{2\pi }}$
Az összegük helyett használhat koszinusz- és szinuszkivonást .

Kapcsolat a Fourier-transzformációval

A Hartley-transzformáció a kernel kiválasztásában különbözik a Fourier -transzformációtól .

A Fourier transzformáció az exponenciális kernelt használja

\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),

ahol

én

a képzeletbeli egység .

Ez a két transzformáció szorosan összefügg, és ha azonos a normalizációjuk, akkor

F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{ 2}}

Valódi függvények esetén a Hartley -transzformáció összetett Fourier-transzformációvá alakul: $f(t)$

\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{ {\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},

ahol

\Újra

és a függvény valós és képzeletbeli részei, ill.

\Im

Tulajdonságok

Hartley transzformáció - valódi szimmetrikus unitér lineáris operátor

Van egy analógja a konvolúciós tételnek is : ha két függvénynek van Hartley-transzformációja , illetve, akkor a konvolúciójuknak transzformációja lesz $x(t)$ $y(t)$ $X(t)$ $I(t)$ $z(t)=x*y$

Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega) )+Y(-\omega )\jobbra]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\jobbra]\jobbra)/2

A Fourier-transzformációhoz hasonlóan a Hartley-transzformáció is páros vagy páratlan függvény lesz, a transzformálandó függvény természetétől függően.

Cas

A Hartley kernel tulajdonságai a trigonometrikus függvények tulajdonságaiból következnek . Mert

{\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),

akkor

2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){ \mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}} (-b)

és

{\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\ cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)

A kernel származéka az

{\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}({\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos( a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)

Irodalom

RONALD N. Bracewell Fourier Transform [1] Archiválva : 2017. május 24. a Wayback Machine -nél
Hartley, RVL, A szimmetrikusabb Fourier-analízis az átviteli problémákra . Archiválva : 2008. június 2., a Wayback Machine , Proc. IRE 30 , 144-150 (1942).
Bracewell, RN, The Fourier Transform and its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2. kiadás, 1978, átdolgozva 1986) (japánra és lengyelre is lefordítva)
Bracewell, RN, The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (németre és oroszra is lefordítva)
Bracewell, RN, Sablon: Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
Millane, RP, Sablon: Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).
Villasenor, John D., Sablon: Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 391-399 (1994).

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul