Presheaf (kategóriaelmélet)

A preheaf a kategóriaelméletben egy olyan konstrukció, amely általánosítja a preheaf topológiai fogalmát .

Formálisan a kategórián belüli értékekkel rendelkező kategórián lévő előlap egy funktor , azaz egy kontravariáns függvény től -ig . Leggyakrabban a készletek kategóriájába tartozó értékekkel rendelkező előlapokat veszik figyelembe . Ha egy topológiai tér zárvány általi nyitott halmazainak részlegesen rendezett halmaza , akkor a kategorikus presheaf egy topológiai tér elősorát határozza meg a tekercsek elméletében használt értelemben . $F$ $C$ $V$ $F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V}$ $C$ $V$ $C$

A presheave közötti morfizmusok a funktorok természetes átalakulásaként definiálhatók . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy figyelembe vegyük a funktorok kategóriáját . A benne lévő funktort profunktornak nevezzük . ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$ ${\widehat {C))$

A kategória valamely objektumánál a Hom funktorral természetesen izomorf előláncot reprezentálható előcsavarnak nevezzük . $\mathrm {Hom} (-,A)$ $A$ $C$

A kategóriaelméleti értelemben vett előcsavar széles körben használt példája egy egyszerű halmaz , amely egy egyszerű kategória előcsavarja a halmazok kategóriájában lévő értékekkel. $\Delta$

Tulajdonságok

Ha kis kategória , akkor a rajta lévő kévék kategóriája derékszögű zárt , sőt toposz . Ez is teljes és teljes . $C$ ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$
Egy helyileg kis kategória teljes és egyértékű beágyazást tesz lehetővé a tárcsák kategóriájában , amelyek értékei a Yoneda beágyazásban vannak . ${\mathbf {Set}}$

Irodalom

McLane S. 3. fejezet. Univerzális konstrukciók és határértékek // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk , "Sheaves in Geometry and Logic" (1992) Springer-Verlag - ISBN 0-387-97710-4