Egyszerű készlet

Az egyszerű halmaz (a korai forrásokban félig egyszerű komplexum ) egy kategóriaelméleti konstrukció, amely általánosítja az egyszerű komplex fogalmát, és bizonyos értelemben modellezi a „jó” tulajdonságokkal rendelkező topológiai tér fogalmát: a homotópia . Az egyszerű halmazok elmélete egyenértékű a topológiai terekre vonatkozó klasszikus homotópia elmélettel. Ez egy tisztán algebrai konstrukció, amely szinte teljes párhuzamosságot biztosít a geometriai objektumokkal; ebből a szempontból az algebrai topológia egyik legfontosabb objektumának tartják , mind módszertani, mind műszertani szempontból [1] .

A kategóriaelmélet szempontjából egyszerű objektumként definiálható a halmazok kategóriájából , vagy ezzel egyenértékűen egy egyszerű kategória előláncaként a halmazok kategóriájába.

Definíciók és szerkezet

Az egyszerű halmaz egy kontravariáns funktor egy egyszerű kategóriából a halmazok kategóriájába : . $x$ $\Delta ^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Set}}$

Mivel egy egyszerű kategória minden morfizmusát morfizmusok generálják, és ( ) definíciója [2] : $\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]$ $\sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]$ $0\leq i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geq i\end{cases}}

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leq i\\j-1,&j>i\end{cases}}

akkor az egyszerű halmaz a megfelelő ( kettős és ) leképezésekkel összekapcsolt és az összefüggéseket kielégítő th rétegek rendszereként szerkeszthető meg: $n$ $X_n$ $\delta$ $\sigma$ $d_{i}^{n}:X_{n}\to X_{{n-1}}$ $s_{i}^{n}:X_{n}\–X_{{n+1}}$

d_{i}^{n}d_{j}^{{n+1}}=d_{{j-1}}^{n}d_{i}^{{n+1}}

, ha ,

i<j

{\displaystyle s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1))

, ha ,

i\leqslant j

d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i <j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1} d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}

A réteg pontjait -dimenziós egyszerűsítéseknek , sőt a réteg pontjait csúcsoknak , a réteg pontjait pedig éleknek nevezzük . A morfizmusokat arcoperátoroknak , a morfizmusokat degenerációs operátoroknak nevezzük . $X_n$ $n$ $X_{0}$ $X_{1}$ $d_{i}^{n}$ $s_{j}^{n}$

Az egyszerű leképezés egyszerű halmazok közötti (funktor) morfizmus , az egyszerű leképezés rétegek gyűjteményének is tekinthető , sőt: $f:X\-X'$ $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$

{\displaystyle d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n))

( ),

0\leq i\leq n

s_{i}^{n}f_{n}=f_{{n+1}}s_{i}^{n}

( ).

0\leq i\leq n

Egy egyszerű halmazt egyszerű részhalmaznak nevezünk , ha az egyszerűsített leképezés minden szála injektív ; ebben az esetben az arc operátorok és a degenerációs operátorok a megfelelő operátorok korlátozásai a következőhöz . $x$ $X'$ $f_{n}:X_{n}\to X_{n}'$ $f:X\-X'$ $x$ $X'$

Egy egyszerű faktorhalmaz egy egyszerű halmaz rétegenkénti faktorizálásával kapott konstrukció, azaz egy réteghalmaz , ráadásul a faktorréteg-rétegek arcoperátorait és degenerációit a megfelelő halmazoperátorok indukálják . $X/\sigma$ $X_{n}/\sigma$ $x$

Az egyszerű halmazok a köztük lévő összes lehetséges egyszerű leképezéssel egy kategóriát alkotnak [3] . ${\mathbf {Set}}^{{\Delta ^{{\mathrm {op}}}}}$

Motiváció

Példák

Tulajdonságok

Az egyszerű halmazok kategóriája direkt és inverz határértékeket enged meg, amelyek rétegről rétegre számíthatók ki. Különösen minden egyszerű halmazhoz és a közvetlen szorzathoz és a közvetlen összeghez (külön unió) van meghatározva , továbbá minden rétegre: $x$ $X'$ $X\szer X'$ $X\oplus X'$

(X\szor X')_{n}=X_{n}\X'_{n}

(X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}

Geometriai megvalósítás

Cosimplicial set

Használják a koszimpliciális halmaz kettős fogalmát is - egy funktort egy egyszerű kategóriából a halmazok kategóriájába: . A koszimplicált halmazok hasonló réteges szerkezettel rendelkeznek arc- és degenerációs operátorokkal (a megfelelő egyszerűsített halmaz operátorokkal együtt), és a kategóriát alkotják . $\Delta \to {\mathbf {Set}}$ ${\mathbf {Set}}^{\Delta }$

Jegyzetek

↑ Gabriel, Tsisman, 1971 , ... A topológiai terek homotópia elmélete és az egyszerű halmazok - objektumok analóg elmélete között szinte teljes párhuzamosság létezését értjük (a megfelelő kategóriák ekvivalenciájában kifejezve), lényegében tisztán algebrai. . Az egyszerűsített halmazok elmélete egyrészt nagy módszertani jelentőséggel bír, jelentősen tisztázza az algebrai topológia alapjainak logikai és fogalmi természetét, másrészt a topológia egyik legerősebb eszköze. kutatás ... (M. M. Postnikov előszavából), p. 5.
↑ Egyszerű objektum – Matematikai enciklopédia cikk . Malygin S. N., Postnikov M. M.
↑ Az 1970-es évekből származó források a jelölést használják . A jelölést is használják $\Delta ^{\circ }{\mathcal E}ns$ ${\mathbf {sSet}}$

Irodalom

Gabriel P., Tsisman M. A törtek kategóriái és a homotópiaelmélet = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Angolból fordította: M. M. Postnikova. — M .: Mir , 1971. — 296 p.
Simplicial set - Encyclopedia of Mathematics cikk . Malygin S. N., Postnikov M. M.
McLane S. 7. fejezet. Monoidok // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .