Egyszerű kategória

Az egyszerűsített kategória (szintén szimplex kategória , ordinális kategória ) [1] a nem üres véges sorszámok kategóriája, amelyek morfizmusai monoton függvények . Fontos szerepet játszik az algebrai topológiában [2] , és olyan konstrukciók alapja, mint az egyszerű objektum és az egyszerű halmaz .

Egy egyszerű kategória (néha a [3] jelölést használjuk ) formájú objektumokból , ahol egy természetes szám , és a -ból következő morfizmusokból épül fel . Más szóval, az egyszerűsített kategória objektumai a véges sorszámok , a morfizmusok pedig nem szigorúan monoton függvények közöttük. Az ordinális a kategória kezdeti objektuma , és a terminál . $\Delta$ $\mathbf {Ord}$ ${\displaystyle [n]=\{0,1,\pontok ,n\))$ $n$ $f:[n]\to [n']$ $i\leqslant j$ $f(i)\leqslant f(j)$ $[0]$ $[1]$

Tulajdonságok

Egy egyszerű kategória bármely morfizmusa előállítható morfizmusok összetételével [4] ( ): $0\leqslant i\leqslant n$

\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]

\sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]

az alábbiak szerint határozzák meg:

\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}

(növekvő injektív leképezés, "szivárgás" ),

én

\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}

(egy nem csökkenő szürjektív leképezés, amely kétszer vesz fel egy értéket).

én

Sőt, mindenki számára van egy egyedi ábrázolás: $f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])$

f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n- s+1}\sigma _{j_{t}}^{mt}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}

ahol , , . $0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n$ $0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m$ $n=m-t+s$

Ezek a morfizmusok a következő összefüggéseket elégítik ki:

\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}

, ha ,

i<j

\sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}

, ha ,

i\leqslant j

\sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j- 1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{ i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}

Ezek az összefüggések egyedileg határozzák meg a morfizmusokat és . $\delta$ $\sigma$

Kapcsolódó definíciók

Az ordinális összeadás egy bifunktor , amely a sorszámokon közönséges összeadásként van definiálva: $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$

[n]+[n']=[n+n']

és a morfizmusokhoz és a következő séma szerint: $f:[n]\to [n']$ $g:[m]\to [m']$

(f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(in),&n\leqslant i\leqslant n+ m -1\end{esetek}}

Egy egyszerű kategória sorszám hozzáadásával szigorúan monoidális kategóriát alkot .

Az alkalmazások egy kiterjesztett egyszerűsített kategóriát is használnak , egy egyszerűsített kategóriát, amelyet egy sorszámmal egészítenek ki : . Néha egy kiterjesztett egyszerűsített kategóriát algebrai egyszerű kategóriának neveznek , ilyenkor topológiai kategóriának . ${\displaystyle \Delta _{+))$ $[-1]=\varnothing$ $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$ $\Delta$

Jegyzetek

↑ Néha egy egyszerű objektumot a kis kategóriák kategóriájából egyszerű kategóriának neveznek . Ezen túlmenően, néha az egyszerűsített kategóriákat ugyanúgy hívják – az egyszerűsített halmazok kategóriájával gazdagított kategóriákat . Ha van egy „egyszerűsített kategória” kifejezés az ilyen konstrukciók kontextusában, igyekeznek elkerülni az alternatív kifejezések vagy csak megnevezés használatát. $\Delta$
↑ McLane, 2004 , p. 204.
↑ Milyen gyakran jelöli az összes lineárisan rendezett halmaz kategóriáját, amelyben az egyszerű kategória egy teljes alkategória $\mathbf {Ord}$
↑ Egyszerű objektum – Matematikai enciklopédia cikk . S. N. Malygin, M. M. Postnikov

Irodalom

McLane S. 7. fejezet. Monoidok // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Gabriel P., Tsisman M. A törtek kategóriái és a homotópiaelmélet = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Angolból fordította: M. M. Postnikova . - M .: Mir , 1971. - S. 69-72. — 296 p.