Preadditív kategória

A preadditív kategória az Abel-csoportok kategóriájához képest gazdagított kategória , azaz olyan kategória, amely bármely objektum esetében összeadással egy Abel-csoport szerkezetét tartalmazza , míg a morfizmusok összetétele bilineáris : $A$ $B$ ${\text{Hom}}(A,B)$

(g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f

g\circ (f_{1}+f_{2})=g\circ f_{1}+g\circ f_{2}

A preadditív kategóriát néha -kategóriának is nevezik [ 1] . $Ab$

Példák

Abel-csoportok kategóriája . ${\mathbf {Ab))$
A bal oldali R-modulok és a jobboldali R-modulok kategóriái . $R{\mbox{-}}{\mathbf {Mod}}$ ${\mathbf {Mod}}{\mbox{-}}R$

Additív funktorok

Egy funktort additívnak mondunk , ha minden leképezés Abel-csoportok homomorfizmusa . $T\kettőspont A\-B-ig$ $T\colon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\ to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})$

Ha a és kategóriák és preadditív, akkor a funktorok kategóriája is preadditív, mivel a természetes átalakulások természetes módon adhatók hozzá. Ha szintén preadditív, akkor az additív funktorok és természetes átalakulások kategóriája is preadditív. ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$ ${\mathcal D}$ $Funct({\mathcal C},{\mathcal D})$ ${\mathcal C}$ $Add({\mathcal C},{\mathcal D})$

Az utolsó példa a modul fogalmának általánosításához vezet : ha preadditív, akkor a kategóriát a modulok felett kategóriájának nevezzük . Ha egy objektum elő-additív kategóriája - rings , ez a (bal) -modulok szokásos definíciójához vezet . ${\mathcal C}$ $Mod({\mathcal C}):=Add({\mathcal C},{\mathbf {Ab)))$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $R$ $R$

$Ab{\mbox{-}}{\mathbf {Cat}}$ az összes olyan kis -kategória kategóriája, amelyek morfizmusai additív funktorok. $Ab$

Különleges alkalmak

A gyűrű egy tárgy preadditív kategóriája.
Az adalékanyag -kategória véges termékeket tartalmazó adalékanyag-előkészítő kategória .
Az Abeli-kategória egy additív kategória, amelyben vannak magok és kokernelek , és mindegyik monomorfizmus és epimorfizmus normális .

Jegyzetek

↑ McLane S. 1. fejezet. Kategóriák, funktorok és természetes transzformációk // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Irodalom

Nicolae Popescu ; 1973; Abeli kategóriák gyűrűkre és modulokra való alkalmazásokkal; Academic Press Inc. — ISBN 0-12-561550-7 .