A Galois-elmélet alaptétele

A Galois-elmélet fő tétele egy bizonyos alakú mezők kiterjesztésére vonatkozó tétel , amely a Galois-elmélet egyik kulcsfontosságú eredménye .

Állítás: véges Galois-bővítmény esetén egy az egyhez megfelelés van az alak köztes mezőinek halmaza és ennek a bővítménynek a Galois-csoportjának alcsoportjainak halmaza között (a tétel ráadásul kifejezetten definiálja ezt a megfelelést). $E\feldúlt F$ $K$ $E\supset K\supset F$

Megfelelőségi leírás

Egy adott véges kiterjesztéshez a megfeleltetés a következőképpen van elrendezve: $E\feldúlt F$

A Galois-csoport bármely alcsoportja esetén a megfelelő közbülső mező, amelyet általában -vel jelölnek , a mező azon elemeinek halmaza, amelyek az egyes automorfizmusok fix pontjai -ból , a -ból indukált műveletekkel . $H$ $E^{H}$ $E$ $H$ $E$
Bármely köztes mező esetében a hozzá tartozó alcsoport azokból az automorfizmusokból áll, amelyek ezen a köztes mezőn azonosan hatnak.

Például a mező egy triviális alcsoportnak és az egész csoportnak felel meg (mivel a Galois-csoport összes automorfizmusa megőriz egy kisebb mezőt, és minden más elemre létezik egy automorfizmus, amely nem triviálisan hat rá). $E$ $F$

Tulajdonságok egyezése

Ennek a levelezésnek számos hasznos tulajdonsága van. Különösen megfordítja a sorrendet a felvétellel: a Galois-csoport alcsoportjainál a feltétel egyenértékű a -val . Ezen túlmenően egy mező normál kiterjesztése (vagy ennek megfelelően Galois kiterjesztése , mivel az elválasztható kiterjesztések minden részkiterjesztése elválasztható), akkor és csak akkor, ha a Galois-csoport normál alcsoportja . A hányadoscsoport izomorf a kiterjesztés Galois-csoportjához képest . $H_{1}\subseteq H_{2}$ $E^{H_{2}}\subseteq E^{H_{1}}$ $E^{H}$ $F$ $EH$ $E^{H}\supset F$

Példa

Tekintsünk egy mezőt . Minden elem felírható így $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))$

a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),

ahol , , , racionális számok. Tekintsük a kiterjesztés automorfizmusait . Mivel ezt a kiterjesztést a és a generálja , minden automorfizmust egyedileg a képeik határoznak meg. Bármilyen kiterjesztésű automorfizmusok csak egy kisebb mező felett tudják felcserélni a polinom gyökereit, ezért ebben az esetben minden lehetséges nem triviális automorfizmus permutáció és (ezt az automorfizmust jelöljük ), permutáció és (automorfizmus ) és ezek összetétele . Pontosabban ezek az átalakítások a következők: $a$ $b$ $c$ $d$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))\supset \mathbb {Q}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {2}}$ $-{\sqrt 2}$ $f$ ${\sqrt {3}}$ $-{\sqrt 3}$ $g$ $fg$

f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=ab{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3 }}-d{\sqrt {6}},

g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.

Nyilvánvaló, hogy ezek a leképezések bijektív módon hatnak, és az összeget összeggé alakítják, ezért az egyenlőség ellenőrzéséhez elegendő az alapelempárokon ellenőrizni, ami szintén triviális. Így ennek a kiterjesztésnek a Galois-csoportja a Klein-négyes csoport : $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$

G=\{1,f,g,fg\}.

Három nem triviális alcsoportja van:

egy alcsoportból származó automorfizmusok megőrzik a köztes mező elemeit ; ${\displaystyle \{1,f\))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {3)))$
automorfizmusok a megőrzésből ; ${\displaystyle \{1,g\))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)))$
automorfizmusok a megőrzésből . $\{1,fg\}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$

Alkalmazások

A főtétel a köztes mezők létezésének kérdését valamely véges csoport részcsoportjainak létezésének kérdésére redukálja (mivel a Galois-csoport sorrendje megegyezik a kiterjesztés dimenziójával), a Galois-elmélet számos problémáját megoldja a főtétel egyszerű alkalmazása.

Például egy egyenlet gyökökben való megoldhatóságának kérdését általában a következőképpen fogalmazzák meg: lehetséges-e egy adott polinom gyökét az együtthatóiban kifejezni csak aritmetikai műveletekkel és a th - edik fok gyökének felvételével . A mezőelmélet nyelvén ez a kérdés így fogalmazható meg: tekintsük a polinom együtthatói által generált mezőt és a gyökeinek összeadásával kapott mezőt. A kérdés az, hogy létezik-e ilyen köztes mezők láncolata $n$ $F$ $E$

E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F,

hogy , ahol az egyenlet gyöke , és a mező tartalmazza az egyenlet összes gyökerét . Ebben az esetben bebizonyítható, hogy a Galois-csoport megfelelő részcsoportjainak az a tulajdonsága, hogy a hányadoscsoport létezik és ciklikus . Azokat a csoportokat, amelyeknél létezik legalább egy sorozat ezzel a tulajdonsággal, megoldhatónak mondjuk , így egy egyenlet akkor és csak akkor oldható meg gyökben, ha a Galois-csoportja megoldható. $K_{i+1}=K_{i}(\alpha )$ $\alpha$ ${\displaystyle x^{n}-a,\ a\in K_{i))$ $K_{i}$ $x^{n}-1$ $G_{i}/G_{i+1}$

Az olyan elméletek, mint Kummer elmélete és osztálymezőelmélete , a Galois-elmélet alapvető tételén alapulnak.

Irodalom

Bourbaki N. Algebra. 2. rész Polinomok és mezők. Rendezett csoportok - M .: Nauka, 1965
P. Aluffi. Algebra: 0. fejezet (Matematikai végzettség) – Amerikai Matematikai Társaság, 2009 – ISBN 0-8218-4781-3 .
Marcus, Daniel. Számmezők (undefined) . - New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 0-387-90279-1 .