Ortodiagonális négyszög

Az euklideszi geometriában az ortodiagonális négyszög olyan négyszög , amelyben az átlók derékszögben metszik egymást .

Különleges alkalmak

A deltoid egy merőleges négyszög, amelyben az egyik átló a szimmetriatengely. A deltoidok pontosan merőleges négyszögek, amelyeknek egy köre érinti mind a négy oldalát. Így a deltoidok körülírt ortodiagonális négyszögek [1] .

A rombusz egy merőleges négyszög, amelynek két pár párhuzamos oldala van (azaz egy merőleges négyszög és egy paralelogramma egyszerre).

A négyzet egy speciális esete az ortodiagonális négyszögnek, amely egyben deltoid és rombusz is.

Az orto-diagonális ekvidiagonális négyszögek, amelyekben az átlók nem kisebbek bármely oldalnál, az összes négyszög közül a legnagyobb átmérővel rendelkeznek, ami megoldja a terület legnagyobb egységátmérőjű sokszögének problémájának n = 4 esetét . A négyzet egy ilyen négyszög, de végtelenül sok más is van.

Leírás

Bármely derékszögű négyszögre a szemközti oldalak négyzetösszegei egyenlőek - az a , b , c és d oldalaknál a következő : [2] [3] :

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.

Ez a Pitagorasz-tételből következik , amely szerint e két összeg bármelyike egyenlő a négyszög csúcsai és az átlók metszéspontja közötti távolság négyzetének összegével.

Ezzel szemben minden olyan négyszögnek, amelyben a 2 + c 2 = b 2 + d 2 , merőlegesnek kell lennie [4] . Ezt sokféleképpen meg lehet mutatni a koszinusztétel , a vektorok , az ellentmondásos bizonyítás és a komplex számok [5] segítségével .

Egy konvex négyszög átlói akkor és csak akkor merőlegesek, ha a bimediánok hossza megegyezik [5] .

Az ABCD konvex négyszög átlói is akkor és csak akkor merőlegesek

\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi

ahol P az átlók metszéspontja. Ebből az egyenlőségből szinte azonnal következik, hogy egy konvex négyszög átlói is akkor és csak akkor merőlegesek, ha az átlók metszéspontjának vetületei a négyszög oldalaira a beírt négyszög csúcsai [5] .

Egy konvex négyszög akkor és csak akkor merőleges, ha Varignon paralelogrammája (amelynek csúcsai az oldalak felezőpontjai) egy téglalap [5] . Ezenkívül egy konvex négyszög akkor és csak akkor merőleges, ha oldalainak felezőpontja és a négy antimediatricus alapja nyolc pont, amely ugyanazon a körön fekszik , a nyolc pontból álló körön . Ennek a körnek a középpontja a négyszög súlypontja. Az antimediatrices alapjai által alkotott négyszöget fő ortonégyszögnek nevezzük [6] .

Ha egy ABCD konvex négyszög oldalaihoz az átlók metszéspontján át eső normálisok az R , S , T , U és K , L , M , N pontokban metszik egymással szemközti oldalakat , akkor a normálok alapjai az ABCD négyszög akkor és csak akkor merőleges, ha nyolc pont K , L , M , N , R , S , T és U van egy körön, a második nyolc pontból álló kör . Ezenkívül egy konvex négyszög akkor és csak akkor merőleges, ha az RSTU négyszög olyan téglalap, amelynek oldalai párhuzamosak az ABCD négyszög átlóival [5] .

A P átlók metszéspontja és az ABCD konvex négyszög csúcsai által alkotott négy háromszög között számos összefüggés létezik . Jelölje m 1 , m 2 , m 3 , m 4 -vel az ABP , BCP , CDP , DAP háromszögek mediánjait P - től az AB , BC , CD , DA oldalakig. Jelölje R 1 , R 2 , R 3 , R 4 a körülírt körök sugarát , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 -en keresztül pedig ezeknek a háromszögeknek a magasságát . Ekkor az ABCD négyszög akkor és csak akkor merőleges, ha a következő [5] egyenlőségek bármelyike igaz :

${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$
${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Ráadásul az ABCD négyszög a P átlók metszéspontjával akkor és csak akkor merőleges, ha az ABP , BCP , CDP és DAP háromszögek körül leírt körök középpontjai a négyszög oldalainak felezőpontjai [5] .

Összehasonlítás a körülírt négyszöggel

A leírt négyszögek és az ortodiagonális négyszögek egyes numerikus jellemzői nagyon hasonlóak, amint az a következő táblázatból is látható [5] . Itt a négyszög oldalainak hossza a , b , c , d , a háromszögek körül a körülírt körök sugarai R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , magasságai h 1 , h 2 , h 3 , h 4 (mint az ábrán) .

Körülírt négyszög	ortodiagonális négyszög
$a+c=b+d$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Terület

Egy merőleges négyszög K területe egyenlő a p és q átlók hosszának a felével [7] :

K={\frac {p\cdot q}{2)).

Ezzel szemben minden olyan konvex négyszög, amelynek területe egyenlő az átlók szorzatának felével, merőleges [5] . Egy ortodiagonális négyszögnek van a legnagyobb területe az összes adott átlójú konvex négyszög közül.

Egyéb tulajdonságok

Csak az ortodiagonális négyszögeknél a területet nem határozzák meg egyértelműen az oldalak és az átlók közötti szög [8] . Például, ha két a oldalú rombusz ( mint minden rombusz átlója merőleges) közül az egyiknek kisebb a hegyesszöge, akkor a területek eltérőek lesznek.
Ha egy négyszög oldalára (konvex, konkáv vagy önmagát metsző) négyzeteket rajzolunk , akkor ezek középpontja egy merőleges négyszög csúcsa lesz (szintén egyenlő átlós ). Ezt az állítást Van Obel tételének nevezzük .

Egy merőlegesen írt négyszög tulajdonságai

A körülírt kör és terület sugara

Egy körbe írt derékszögű négyszögben lévő átlók metszéspontja ossza fel az egyik átlót p 1 és p 2 hosszúságú szakaszokra, a másikat pedig q 1 és q 2 hosszúságú szakaszokra . Aztán (az első egyenlőség Arkhimédész Lemmáinak 11. tételében )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

ahol D a körülírt kör átmérője . Ez a kör bármely két merőleges húrjára igaz [9] . Ebből a képletből következik a körülírt kör sugarának kifejezése

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

vagy egy négyszög oldalait tekintve,

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

Ebből az is következik, hogy

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Ekkor az Euler-képlet szerint a körülírt kör sugara kifejezhető p és q átlókkal, valamint az átlók felezőpontjai közötti x távolsággal .

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

A beírt merőleges négyszög K területének képlete négy oldalra vonatkoztatva közvetlenül Ptolemaiosz tételének és az ortodiagonális négyszög területének képletének kombinálásával érhető el .

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Egyéb tulajdonságok

Egy beírt merőleges négyszögben az anticentrum egybeesik az átlók metszéspontjával [2] .
Brahmagupta tétele kimondja, hogy bármely beírt merőleges négyszög esetén az átlók metszéspontján átmenő oldalra merőleges felezi a szemközti oldalt [2] .
Ha egy merőleges négyszög beírt, akkor a körülírt kör középpontja és mindkét oldal közötti távolság egyenlő a szemközti oldal hosszának felével [2] .
Egy beírt merőleges négyszögben az átlók felezőpontjai közötti távolság egyenlő a körülírt kör középpontja és az átlók metszéspontja közötti távolsággal [2] .
Egy merőleges négyszög, amely szintén egyenlő átlós , effektív négyszög , mivel Varignon paralelogrammája négyzet. Területe tisztán oldalakkal fejezhető ki.

Egy merőleges négyszögbe írt téglalapok

Bármely derékszögű négyszög végtelen sok téglalappal írható fel, amelyek a következő két halmazhoz tartoznak:

i) olyan téglalapok, amelyek oldalai párhuzamosak egy merőleges négyszög átlóival (ii) Pascal pontkörök által meghatározott téglalapok. [10] [11] [12]

Jegyzetek

↑ Josefson, 2010 , p. 119-130.
↑ 1 2 3 4 5 Altshiller-Court, 2007 , p. 136-138.
↑ Mitchell, 2009 , p. 306-309.
↑ Ismailescu, Vojdany, 2009 , p. 195–211.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Josefsson, 2012 , p. 13–25.
↑ Mammana, Micale, Pennisi, 2011 , p. 109–119.
↑ Harry, 2002 , p. 310–311.
↑ Mitchell, 2009 , p. 306–309.
↑ Posamentier, Salkind, 1996 , p. 104–105., 4–23.
↑ David, Fraivert (2019), Egy derékszögű négyszögbe írt és Pascal-pont körök által meghatározott téglalapok halmaza , Journal for Geometry and Graphics 23. kötet: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > Archiválva : 2020. október 23. a Wayback Machine -nél .
↑ David, Fraivert (2017), Properties of a Pascal pontkör négyszögben merőleges átlókkal , Forum Geometricorum vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.dátumpdf > Archived 2020. december 5-én a Wayback Machine -en .
↑ Freivert, D. M. (2019), Új téma az euklideszi geometriában a síkon: A négyszög oldalain lévő kör által alkotott „pascal-pontok” elmélete , Matematikai oktatás: A technika állása és perspektívák: A nemzetközi tanulmányok Tudományos konferencia , < http:// /libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Archivált : 2019. november 10. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Martin Josephson. Számítások egy érintőnégyszög érintőhosszaira és érintési húrjaira // Forum Geometricorum. - 2010. - 20. évf. 10. - P. 119-130.
Martin Josephson. Orthodiagonális négyszögek jellemzése // Forum Geometricorum. - 2012. - Kt. 12. - P. 13–25.
Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. Konvex négyszög Droz-Farny körei // Forum Geometricorum. - 2011. - 20. évf. 11. - P. 109-119.
N. Altshiller-Court. Főiskolai geometria. - Dover Publications, 2007. (1952-es könyv, Barnes & Noble reprint kiadása)

Douglas W. Mitchell. Egy négyszög területe // Matematikai Közlöny. - 2009. - Vol. 93.—P. 306–309.
Dan Ismailescu, Adam Vojdany. Konvex négyszögek osztálymegőrző disszekciói // Forum Geometricorum. - 2009. - Vol. 9. - P. 195-211.
J. Harry. Egy négyszög területe // Matematikai Közlöny. - 2002. - Nem. 86.
David Fraivert. Egy Pascal-pontkör tulajdonságai egy négyszögben merőleges átlókkal // Forum Geometricorum. - 2017. - Kt. 17. - P. 509-526.
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Kihívást jelentő geometriai problémák. 2. kiadás . - New York: Dover Publ., 1996. - ISBN 0-486-69154-3 .