A legnagyobb egységátmérőjű sokszög egy n oldalú sokszög (adott n szám esetén ) , amelynek átmérője eggyel egyenlő (vagyis bármely két pontja egynél nem nagyobb távolságra van egymástól), és amelynek a legnagyobb terület az egy átmérőjű n - szögek között . A megoldás (nem egyedi) n = 4 esetén egy négyzet , páratlan n megoldása szabályos sokszög , míg a maradék páros n esetén a szabályos sokszög nem lesz a legnagyobb.
Egy tetszőleges négyszög területét ( n = 4) az S = pq sin( θ )/2 képlettel számítjuk ki , ahol p és q a négyszög átlói, θ pedig az átlók közötti szög. Ha a sokszög átmérője legfeljebb egy, akkor p és q is legfeljebb 1 lehet. Így egy négyszögnek akkor van maximális területe, amikor mindhárom tényező eléri a maximális lehetséges értéket, azaz p = q = 1 és sin( θ ) = 1. A p = q feltétel azt jelenti, hogy a négyszög egyenlő átlós , a sin( θ ) = 1 feltétel pedig azt, hogy merőleges (az átlói merőlegesek). Ezen négyszögek között van egy egységnyi átlójú és ½ területű négyzet, de végtelen sok más, egyen- és merőleges 1-es átlóhosszúságú négyszög is van egyszerre, amelyek mindegyikének területe megegyezik a négyzet területével. Így a megoldás nem egyedi [1] .
Az n páratlan értékeire Karl Reinhardt kimutatta, hogy a szabályos sokszög területe a legnagyobb az egységnyi átmérőjű sokszögek közül [2] .
n = 6 esetén az optimális sokszög egyedi, de nem szabályos. Az eset megoldását 1975- ben Ronald Graham publikálta Hanfried Lenz 1956-ban feltett kérdésére [3] . A megoldás egy szabálytalan egyenlő átlójú ötszög, amelynek egyik oldalához háromszög kapcsolódik, és ennek a háromszögnek a csúcsától az ötszög szemközti csúcsáig mért távolság megegyezik az ötszög átlóinak hosszával [4] . Ennek az ábrának a területe 0,674981… [5] , és ez a szám kielégíti az egyenletet:
4096x10 + 8192x9 - 3008x8 - 30848x7 + 21056x6 + 146496x5 - 221360x4 + 1232x3 + 144464x2 - 78488x + 11993 _ = _ 0 _._ _ _ _Graham úgy sejtette, hogy általános esetben még n esetén is a megoldás hasonló módon épül fel szabályos ( n − 1)-szögekből (egységnyi átlókkal) úgy, hogy az egyik oldalhoz hozzáadunk egy egyenlő szárú háromszöget, a távolság amelynek a szemközti csúcshoz tartozó csúcsa ( n − 1) -gon egyenlő eggyel. Az n = 8 esetnél ezt 2002-ben számítógép segítségével ellenőrizték [6] . Graham bizonyítása hatszögének optimalitására és az n = 8 eset számítógépes tesztje az összes lehetséges n csúcsú és egyenes élű nyomvonal felsorolását használta .
2007-ben teljes bizonyítékot adtak Graham sejtésének minden páros n értékére [7] .