Egydimenziós stacionárius Schrödinger-egyenlet

Az egydimenziós stacionárius Schrödinger -egyenlet egy másodrendű lineáris közönséges differenciálegyenlet .

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi ( x)=E\psi (x),\qquad (1)

ahol a Planck -állandó , a részecske tömege, a potenciális energia, a teljes energia, a hullámfüggvény . A megoldás megtalálásának problémájának teljes kifejtéséhez meg kell határozni a peremfeltételeket is , amelyeket általános formában mutatunk be az intervallumra $\hbar$ $m$ $U(x)$ $E$ $\psi(x)$ $(1)$ $[a,b]$

\alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx))=\gamma _{1},\qquad (2)

\alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx))=\gamma _{2},\qquad (3)

hol vannak az állandók. A kvantummechanika egy egyenlet megoldásait peremfeltételekkel és . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2))$ $(1)$ $(2)$ $(3)$

Általános tulajdonságok

A fizikai jelentés alapján a hullámfüggvénynek koordinátáinak egyértékű és folytonos függvényének kell lennie. A normalizálási feltétel a hullámfüggvény négyzetének valószínűségként való értelmezéséből adódik .

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)

Ebből különösen az következik, hogy a hullámfüggvénynek kellően gyorsan kell csökkennie x függvényében. Egydimenziós esetben, ha a hullámfüggvény -nél van , akkor a kifejezésnek megfelelő kitevő ${\displaystyle \psi (x)\sim 1/x^{\alpha ))$ $x\longrightarrow +\infty$

\int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\ alfa -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)

ki kell elégítenie az egyenlőtlenséget $\alpha >1/2.$

Az egyenlet integrálása az a pont egy kis környezetébe további feltételeket ad a hullámfüggvény deriválására $(1)$

\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2))}dx={\frac {2m}{ \hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)

amiből a határban következik $\varepsilon \longrightarrow 0$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ jobb|_{a-0}=0,\qquad(0d)

ha a potenciális energiának az a pontban első típusú szakadásai vannak (véges ugrások). Ha az a pontban van egy második típusú szakadás , például a potenciális energiát a deltafüggvény írja le ( ), akkor a feltétel a következő alakot ölti $U(x)=-G\delta(xa)$ $(0c)$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ right|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)

Ha az energiaspektrum nem degenerált, akkor csak egy hullámfüggvény létezik, amely adott energiára a Schrödinger-egyenlet megoldása, és az a fázisig van definiálva. Abban az esetben, ha a potenciál szimmetrikus, akkor a hullámfüggvények párosak vagy páratlanok lesznek, és a hullámfüggvények paritása váltakozik.

Pontos analitikai megoldások

Általános formában az egyenletnek nincs megoldása , peremfeltételekkel és peremfeltételekkel , de a potenciális energia bizonyos megválasztásával egzakt megoldások találhatók. Fontos szerepet játszanak az egyenlet analitikus közelítő megoldásainak felépítésében . $(1)$ $(2)$ $(3)$ $(1)$

A szabad részecske megoldása a síkhullámok

A szabad térben, ahol nincsenek potenciálok, az egyenlet különösen egyszerű formát ölt $(1)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x). \qquad(4)

Ennek az egyenletnek a megoldása a síkhullámok szuperpozíciója

\psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad(5)

Itt az energia minden nulla feletti értéket felvehet, így a sajátértékről azt mondjuk, hogy a folytonos spektrumhoz tartozik . A és állandókat a normalizálási feltételből határozzuk meg . $E$ $C_{1}$ $C_{2}$

Egy részecske megoldása végtelenül magas falú egydimenziós potenciálkútban

Ha egy részecskét egy potenciálkútba helyezünk, akkor a folytonos energiaspektrum diszkrét lesz . Potenciális energiájú egyenletre , amely nulla az intervallumban , és végtelenné válik az és pontokban . Ezen az intervallumon a Schrödinger-egyenlet egybeesik -vel . A hullámfüggvény peremfeltételei az alakba vannak írva $(1)$ $U(x)$ $(0,a)$ $0$ $a$ $(4)$ $(2)$ $(3)$

\psi (0)=0,\qquad (6)

\psi (a)=0.\qquad (7)

Megoldásokat keres a formában . A peremfeltételeket figyelembe véve megkapjuk az energia sajátértékeket ${\displaystyle A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )))$ $E_{n}$

E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)

és sajátfüggvények, figyelembe véve a normalizálást

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)

Numerikus megoldások

Az egyenletben egy kissé összetett potenciál már nem teszi lehetővé analitikus megoldás megtalálását (vagy inkább csak az egyik részecske mozgásának problémájára adható meg egy másik részecske), ezért numerikus módszerek alkalmazása szükséges a probléma megoldásához. Schrödinger egyenlet. Ezek közül az egyik legegyszerűbb és legelérhetőbb a véges differencia módszer , amelyben az egyenletet egy véges differencia egyenletre cseréljük egy kiválasztott rácson , ahol a pontokban csomópontok vannak , mégpedig úgy, hogy a második deriváltot a képlettel helyettesítjük. $(1)$ $(1)$ $x_{n}$

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{ h^{2}}},\qquad(10)

ahol a diszkretizálási lépés , a rács csomópontszáma, megkapjuk $h$ $n$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}} +U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad(11)

ahol a potenciális energia értéke a rács csomópontjainál. Legyen a potenciál valamilyen karakterisztikus skálája, akkor az egyenlet dimenzió nélküli formában is felírható $ENSZ}$ $U(x)$ $a$ $(11)$

-y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{ n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)

Ha a potenciális energia dimenzió nélküli értékeit és a sajátértékeket jelöljük , akkor az egyenlet egyszerűsödik $v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}$ ${\displaystyle e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2))))$ $(12)$

-y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)

Az utolsó kifejezést egyenletrendszerként kell érteni az összes lehetséges indexhez . $n$

Irodalom

Boum A. Kvantummechanika: alapok és alkalmazások. M. Mir, 1990. - 720-as évek. ISBN 5-03-001311-3
Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödinger egyenlet. A Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1983.
Kalitkin N. N. Numerikus módszerek. M., Nauka, 1978.

Lásd még

Gödör végtelen falakkal

A kvantummechanika modelljei
Egydimenziós , pörgés nélkül	szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben
Többdimenziós pörgés nélkül	köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál
Beleértve a pörgetést	hidrogénatom Hidrid ion hélium atom