Az egydimenziós stacionárius Schrödinger -egyenlet egy másodrendű lineáris közönséges differenciálegyenlet .
ahol a Planck -állandó , a részecske tömege, a potenciális energia, a teljes energia, a hullámfüggvény . A megoldás megtalálásának problémájának teljes kifejtéséhez meg kell határozni a peremfeltételeket is , amelyeket általános formában mutatunk be az intervallumra
hol vannak az állandók. A kvantummechanika egy egyenlet megoldásait peremfeltételekkel és .
A fizikai jelentés alapján a hullámfüggvénynek koordinátáinak egyértékű és folytonos függvényének kell lennie. A normalizálási feltétel a hullámfüggvény négyzetének valószínűségként való értelmezéséből adódik .
Ebből különösen az következik, hogy a hullámfüggvénynek kellően gyorsan kell csökkennie x függvényében. Egydimenziós esetben, ha a hullámfüggvény -nél van , akkor a kifejezésnek megfelelő kitevő
ki kell elégítenie az egyenlőtlenséget
Az egyenlet integrálása az a pont egy kis környezetébe további feltételeket ad a hullámfüggvény deriválására
amiből a határban következik
ha a potenciális energiának az a pontban első típusú szakadásai vannak (véges ugrások). Ha az a pontban van egy második típusú szakadás , például a potenciális energiát a deltafüggvény írja le ( ), akkor a feltétel a következő alakot ölti
Ha az energiaspektrum nem degenerált, akkor csak egy hullámfüggvény létezik, amely adott energiára a Schrödinger-egyenlet megoldása, és az a fázisig van definiálva. Abban az esetben, ha a potenciál szimmetrikus, akkor a hullámfüggvények párosak vagy páratlanok lesznek, és a hullámfüggvények paritása váltakozik.
Általános formában az egyenletnek nincs megoldása , peremfeltételekkel és peremfeltételekkel , de a potenciális energia bizonyos megválasztásával egzakt megoldások találhatók. Fontos szerepet játszanak az egyenlet analitikus közelítő megoldásainak felépítésében .
A szabad térben, ahol nincsenek potenciálok, az egyenlet különösen egyszerű formát ölt
Ennek az egyenletnek a megoldása a síkhullámok szuperpozíciója
Itt az energia minden nulla feletti értéket felvehet, így a sajátértékről azt mondjuk, hogy a folytonos spektrumhoz tartozik . A és állandókat a normalizálási feltételből határozzuk meg .
Ha egy részecskét egy potenciálkútba helyezünk, akkor a folytonos energiaspektrum diszkrét lesz . Potenciális energiájú egyenletre , amely nulla az intervallumban , és végtelenné válik az és pontokban . Ezen az intervallumon a Schrödinger-egyenlet egybeesik -vel . A hullámfüggvény peremfeltételei az alakba vannak írva
Megoldásokat keres a formában . A peremfeltételeket figyelembe véve megkapjuk az energia sajátértékeket
és sajátfüggvények, figyelembe véve a normalizálást
Az egyenletben egy kissé összetett potenciál már nem teszi lehetővé analitikus megoldás megtalálását (vagy inkább csak az egyik részecske mozgásának problémájára adható meg egy másik részecske), ezért numerikus módszerek alkalmazása szükséges a probléma megoldásához. Schrödinger egyenlet. Ezek közül az egyik legegyszerűbb és legelérhetőbb a véges differencia módszer , amelyben az egyenletet egy véges differencia egyenletre cseréljük egy kiválasztott rácson , ahol a pontokban csomópontok vannak , mégpedig úgy, hogy a második deriváltot a képlettel helyettesítjük.
ahol a diszkretizálási lépés , a rács csomópontszáma, megkapjuk
ahol a potenciális energia értéke a rács csomópontjainál. Legyen a potenciál valamilyen karakterisztikus skálája, akkor az egyenlet dimenzió nélküli formában is felírható
Ha a potenciális energia dimenzió nélküli értékeit és a sajátértékeket jelöljük , akkor az egyenlet egyszerűsödik
Az utolsó kifejezést egyenletrendszerként kell érteni az összes lehetséges indexhez .
A kvantummechanika modelljei | |
---|---|
Egydimenziós , pörgés nélkül | szabad részecske Gödör végtelen falakkal Téglalap alakú kvantumkút delta potenciál Háromszög alakú kvantumkút Harmonikus oszcillátor Potenciális lépcsőfok Pöschl-Teller potenciál kút Módosított Pöschl-Teller potenciál kút Részecske periodikus potenciálban Dirac potenciálfésű Részecske a gyűrűben |
Többdimenziós pörgés nélkül | köroszcillátor Hidrogén molekula ion Szimmetrikus felső Gömbszimmetrikus potenciálok Woods-Szász potenciál Kepler problémája Yukawa potenciál Morse potenciál Hulthen potenciál Kratzer molekuláris potenciálja Exponenciális potenciál |
Beleértve a pörgetést | hidrogénatom Hidrid ion hélium atom |