A csillagalak kialakítása egy sokszög (2-es dimenziójú térben ), vagy egy poliéder 3-as vagy annál nagyobb dimenziójú térben történő kiterjesztésének folyamata egy új alak kialakításával.
A kezdeti ábrából kiindulva a folyamat kibővít egyes elemeket, például éleket és (2D) lapokat, általában megtartva a szimmetriát, amíg találkoznak és az új ábra zárt határait alkotják. Az új alakzatot az eredeti alakzat csillag alakjának nevezzük.
1619- ben Kepler úgy határozta meg a sokszögek és poliéderek csillagkeletkezését, mint az élek vagy lapok terjedésének folyamatát, amíg azok metszik egymást, és új sokszöget vagy poliédert alkotnak.
Megszerkesztette a szabályos dodekaéder csillagképeit, és kapott két szabályos csillagú dodekaédert, a kis csillagú dodekaédert és a nagy csillagú dodekaédert .
Megépítette a szabályos oktaéder csillagozott formáit is, és megkapta a csillagozott oktaédert , amely két tetraéder szabályos vegyülete (Kepler a latin stella octangula nevet adta ).
Szabályos sokszög csillagformájának kialakításakor szabályos csillagsokszöget vagy szabályos sokszögek vegyületét kapjuk. Ezeket a sokszögeket egy m szám határozza meg , amely az a szám, ahányszor a szegély az alakzat közepe köré tekered. Mint minden szabályos sokszögnél, a csillagalak csúcsai egy körön fekszenek. Az m szám azoknak a csúcsoknak felel meg, amelyeket a kör mentén kell átadni, hogy az egyik élcsúcsból a másikba jussunk (1-től kezdve).
A szabályos csillagozott sokszöget a Schläfli szimbólum { n/m } ábrázolja, ahol n a csúcsok száma, m pedig a csúcsok összekapcsolásához használt hangmagasság , m és n koprím ( azaz nincs közös osztójuk ). Ha m = 1-et vesszük, akkor egy { n } konvex sokszöget kapunk .
Ha n -nek és m -nek közös osztója van, akkor szabályos sokszögek vegyületét kapjuk. Például a {6/2} két háromszög {3} vagy egy hexagram vegyülete, a {10/4} pedig két pentagramm {5/2} vegyülete.
Egyes szerzők a Schläfli szimbólumot használják az ilyen vegyületekre. Mások szívesebben használnak egy szimbolumot, amely egyetlen útvonalat reprezentál, amely m - szer körbeteker n/m csúcs körül, így az egyik él átfedi a másikat, és minden csúcsot m - szer látogatnak meg. Ebben az esetben egy módosított szimbólum használható például a 2{3} hexagramhoz és a 2{5/2} két szabályos pentagram összekapcsolásához.
Egy szabályos n -szögnek ( n -4)/2 csillagalakja van, ha n páros, és ( n -3)/2 csillagalakja van, ha n páratlan.
A {5/2} pentagram az egyetlen csillag alakú ötszög |
A hexagram , {6/2}, egy csillag alakú hatszög , és két háromszögből áll. |
A {9} ötszögnek 3 enneagramformája van: {9/2}, {9/3}, {9/4}, ahol a {9/3} 3 háromszög összetétele. |
|
| ||
A hétszöghez hasonlóan a nyolcszögnek is két oktagramos csillagalakja van , az egyik ({8/3}) egy csillagsokszög , a másik ({8/2}) pedig két négyzetből áll .
A poliéder csillagalakját úgy alakítjuk ki, hogy az éleket és a lapokat meghosszabbítjuk addig, amíg keresztezik egymást, és új poliédert vagy kapcsolatot nem képeznek. Az új poliéder belsejét lapjai bizonyos számú cellára osztják. A poliéder lapos felületei nagyszámú ilyen cellára oszthatják a teret, és a tágulási folyamat folytatásával több sejtet is be lehet fogni. A szimmetrikus poliédereknél ezek a sejtek egybevágó sejtcsoportokra (halmazokra) bomlanak. Azt mondjuk, hogy az ilyen kongruens halmazok cellái azonos típusúak. A csillag alakzatok megtalálásának általános módszere egy vagy több cellatípus kiválasztása.
Ez a megközelítés hatalmas számú lehetséges alakzathoz vezethet, ezért további kritériumokat alkalmaznak ezen csillagalakzatok számának csökkentésére.
A sejtmag körül zárt szintet alkotó sejthalmazt héjnak (rétegnek) nevezzük. A szimmetrikus poliédereknél a héj egy vagy több típusú sejtből állhat.
Ezen elképzelés alapján néhány korlátozó kategória is szóba jöhet.
Meghatározhatunk még néhány kategóriát:
Az arkhimédeszi szilárdtestek és kettőseik szintén csillag alakúra redukálhatók. Általában ebben az esetben egy olyan szabályt adnak hozzá, hogy a lapok minden eredeti síkjának részt kell vennie a forma felépítésében, vagyis a részlegesen csillagozott formák nem megengedettek. Például a kockát általában nem tekintik a kuboktaéder csillagképének .
Miller szabályait általánosítva a következőket kapjuk:
Tizenhét nem domború egyenletes poliéder az arkhimédeszi szilárd testek csillagformái.
Miller Az ötvenkilenc ikozaéderben egy szabályrendszert javasolt annak meghatározására , hogy mely csillagképeket kell "kellően jelentősnek és megkülönböztethetőnek" tekinteni.
Ezeket a szabályokat úgy alakították ki, hogy bármilyen poliéderhez csillagformát kapjanak. Miller szabályait felhasználva a következőket találjuk:
Sok "Miller-csillagkép" nem érhető el közvetlenül Kepler módszerével. Például sok üres középpontja van, ahol az eredeti poliéder lapjai és élei teljesen hiányoznak - nincs miből kiindulni. Másrészt a Kepler-módszer a Miller-szabályok által teljesen tiltott csillagképeket hoz létre, mivel celláikat csúcsok vagy élek kötik össze, még akkor is, ha lapjaik egyszerű sokszögek. Ez a megkülönböztetés egészen Inchbald cikkéig [1] nem keltett kifejezetten figyelmet .
Miller szabályai nem tartalmaznak semmilyen „helyes” módot a csillagképek számozására. A szabályok azon alapulnak, hogy bizonyos módon egyesítik az alkatrészeket egy csillagdiagramon , és nem veszik figyelembe az eredményül kapott lapok topológiáját. Ennek eredményeként az ikozaédernek vannak olyan megalapozott csillagképei, amelyek nem szerepelnek Coxeter listáján. Egy poliédert James Bridge fedezett fel 1974-ben [2] . Másrészt felvetődik a kérdés, hogy a "Miller-csillagok" némelyike egyáltalán csillagkép-e – az egyik forma tartalmaz néhány teljesen levált sejtet, amelyek szimmetrikusan lebegnek a térben.
Egy alternatív szabályrendszer, amely mindezeket a szempontokat elfogadja, még nem alakult ki teljesen. A legnagyobb előrelépést akkor érték el, amikor megfigyelték, hogy a csillagkeletkezés fordított (kettős) folyamata a fazettásnak , amelynek során részeket távolítanak el a poliéderből anélkül, hogy új csúcsokat hoznának létre. Valamely poliéder bármely csillagképéhez létezik a kettős poliéder kettős fazettása , és fordítva. A kettős poliéder lapjait tanulmányozva megértjük az eredeti poliéder csillagformáit. Bridge úgy találta meg csillagszerű ikozaéderét, hogy tanulmányozta a kettős dodekaéder metszeteit.
Egyes matematikusok, akik poliédereket tanulmányoznak, figyelembe veszik, hogy a csillagalakok kialakulása kétirányú folyamat, így bármely két poliéder, amelynek ugyanaz az arcsíkkészlete, egymás csillagalakja. Az ilyen megértés elfogadható, ha egy számítógépes programhoz általános algoritmust fejlesztünk, de más esetekben nem sok haszna van.
A csillagformákra számos példa található a Weninger-poliéder modellek listája című cikkben .
A stellációs eljárás a magasabb dimenziójú terekben lévő poliéderekre is alkalmazható. Egy n-dimenziós poliéder csillagdiagramja egy adott oldal (n-1) dimenziós hipersíkján található (olyan lap, amelynek mérete 1-gyel kisebb, mint a tér mérete).
Például a 4-dimenziós térben a nagy, nagy csillagozott 120 cellás a négydimenziós szabályos 120 cellás csillagképek kialakulásának végső szakasza .
Az első kísérletet Cayley (ma Kepler-Poinsot szilárdtestek néven ) tette szisztematikus elnevezések megadására a szabályos csillagrendszerű poliédereknek . Ezt a rendszert széles körben, de nem mindig következetesen adaptálták más poliéderekhez 3D-ben és azon túl.
Conway terminológiát dolgozott ki a csillagpoligonokra , a 3-dimenziós és a 4-dimenziós poliéderekre [3] .
Wenninger észrevette, hogy egyes poliédereknek, például a kockának, nincs csillagalakja. A csillagformák kialakítására szolgáló sejtek azonban a végtelenbe tartó prizmákként építhetők fel. Az ilyen prizmákat tartalmazó ábrák félpoliéderek. A poliéderek legtöbb meghatározása szerint ezek a csillagképek szigorúan véve nem poliéderek.
A matematikához való hozzájárulása mellett Magnus Wenningerről a matematika és a művészet kapcsolatának kontextusában írnak, mint olyan személyről, aki „különösen szép” modelleket készített összetett csillag alakú poliéderekről [4].
Az olasz reneszánsz művész, Paolo Uccello a velencei Szent Márk-bazilikában egy kis csillag alakú dodekaédert ábrázoló mozaikpadlót készített (1430 körül). Ezt az Uccello-képet az 1986-os Velencei Biennálé szimbólumaként használták (a téma a "Művészet és tudomány" [5] ) . Ugyanez a csillagforma Escher két litográfiájának középpontja – Contrast (Rend és káosz) , 1950 és Gravity , 1952 [6] .