Általánosított trigonometria

Az általánosított trigonometria a klasszikus trigonometria definícióinak és eredményeinek különféle általánosításainak gyűjteménye .

A közönséges trigonometria háromszögeket vizsgál az euklideszi síkban . Az euklideszi geometria szokásos trigonometrikus függvényeit valós számokban többféleképpen is definiálhatjuk : derékszögű háromszögön , egységkörön , sorozaton , differenciál- és funkcionális egyenleten keresztül . A trigonometrikus függvények általánosításainak fejlesztése gyakran abból áll, hogy a fenti módszerek egyikét olyan helyzetre adaptáljuk, amikor az euklideszi geometria valós számait nem használják. Általánosságban elmondható, hogy a trigonometria a pontok hármasainak tanulmányozása bármely geometriában és bármilyen térben . A háromszög egy olyan sokszög , amelynek a legkevesebb csúcsa van, ezért az általánosítás egyik iránya a szögek és sokszögek magasabb dimenziós analógjainak tanulmányozása: a térszög és a poliéderek , például a tetraéderek és az -egyszerűségek .

Trigonometria

• A gömbi trigonometriában a gömb felületén lévő háromszögeket vizsgálják . A gömbháromszögek azonosságait a szokásos trigonometrikus függvények szerint írjuk le, de eltérnek a sík háromszögek azonosságaitól .
• Hiperbolikus trigonometria:
  1. Hiperbolikus háromszögek vizsgálata hiperbolikus geometriában hiperbolikus függvényekkel .
  2. Hiperbolikus függvények használata az euklideszi geometriában - az egységkört a pont , míg az egyenlő oldalú hiperbolát a pont paraméterezi .
  3. A girotrigonometria a trigonometria egyik formája, amelyet giroszkópos vektorokban használnakA hiperbolikus geometria megközelítése a speciális relativitáselmélet és a kvantumszámítás területén .
• Racionális trigonometria - N. J. Wildberger kanadai matematikus elmélete, amelynek fő gondolata az, hogy a hossz fogalmát egy „kvadránssal” (négyzetes euklideszi távolság ), a szög fogalmát pedig „szórással” (a szinusz négyzete) helyettesítsük. megfelelő szög).
• Trigonometria a várostömbök geometriájához [1] .
• A téridő trigonometriája [2] .
• Fuzzy kvalitatív trigonometria [3] .
• Kezelői trigonometria [4] .
• Rácstrigonometria [5] .
• Trigonometria szimmetrikus tereken [6] [7] [8] .

Magasabb méretek

• Polar sine .
• A tetraéder trigonometriája [9] :
  • Szinusztétel a tetraéderekhez .
• Szimplexumok "ortogonális szöggel" - Pitagorasz-tételek az egyszerűségekhez :
  • De Gua tétele a  Pitagorasz -tétel egy köbszögű tetraéderre .

Trigonometrikus függvények

• Törtdifferenciálegyenletekhez trigonometrikus függvények definiálhatók [10] .
• Az időskálás számításban a differenciál- és differenciálegyenletek időléptékű dinamikus egyenletekké kombinálódnak, amelyek q-differencia egyenleteket is tartalmaznak . A trigonometrikus függvények tetszőleges időskálán definiálhatók (valós számok egy részhalmaza).
• A szinusz és koszinusz sorozatdefiníciói lehetővé teszik ezeknek a függvényeknek a meghatározását bármely algebrán , ahol ezek a sorozatok konvergálnak, például komplex számok , p-adikus számok , mátrixok és különféle Banach-algebrák felett .

Egyéb

• A hiperkomplex számok poláris/trigonometrikus formái [11] [12] .
• Poligonometria  – trigonometrikus azonosságok több különböző szöghez [13] .

Lásd még

• Pitagorasz-tétel a nemeuklideszi geometriában

Jegyzetek

1. ↑ Thompson, Kevin & Dray, Tevian (2000), City block angles and trigonometry , Pi Mu Epsilon Journal 11(2): 87–96 , < http://www.physics.orst.edu/~tavian/taxicab /taxicab.pdf > Archiválva : 2012. február 23. a Wayback Machine -nél 
2. ↑ Francisco J. Erranz, Ramón Ortega, Mariano Santander (2000), Spacetime Trigonometry: A New Self-Dual Approach to Curvature/Signature Dependent Trigonometry , Journal of Physics AT 33(24): 4525-4551 , DOI 10.307-448 /33/24/309 
3. ↑ Honghai Liu, George M. Coghill (2005), Fuzzy Qualitative Trigonometry , 2005 IEEE International Conference on Systems, Humans and Cybernetics , vol. 2. o. 1291–1296 , < http://userweb.port.ac.uk/~liuh/Papers/LiuCoghill05c_SMC.pdf > Archiválva 2011. július 25-én a Wayback Machine -nél 
4. ↑ K. E. Gustafson (1999), Computational trigonometry and related work by orosz mathematicians Kantorovich, Krein, Kaporin , Computational technologies vol . 4 (3): 73–83 , < http://www.ict.nsc.ru/jct/getfile .php?id=159 > Archiválva : 2021. június 24. a Wayback Machine -nél 
5. ↑ Oleg Karpenkov (2008), A rácsos trigonometria elemi fogalmai , Mathematical Scandinavia T. 102 (2): 161–205 , DOI 10.7146/math.scand.a-15058 
6. ↑ Aslaksen Helmer, Huyin Xue-Ling (1997), A trigonometria törvényei a szimmetrikus terekben, a Csendes-óceán partvidékének geometriája ( Szingapúr , 1994 ) , Berlin : de Gruyter , p. 23–36 
7. ↑ Enrico Leuzinger (1992), A szimmetrikus terek trigonometriájáról , Helvetica Mathematical Comments T. 67 (2): 252–286 , DOI 10.1007/BF02566499 
8. ↑ Masala G. (1999), Szabályos és izoklinikus háromszögek Grassmann sokaságában G 2 ( RN ) , Reports of the Mathematical Seminar of the Polytechnic University of Torino . T. 57 (2): 91–104 
9. ↑ G. Richardson (1902-03-01). „A tetraéder trigonometriája” (PDF) . Matematikai Közlöny . 2 (32): 149-158. DOI : 10.2307/3603090 . JSTOR  3603090 . Archivált (PDF) az eredetiből ekkor: 2021-08-28 . Letöltve: 2021-06-18 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
10. ↑ Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini (2003), The Physics of Fractal Operators , Institute for Nonlinear Sciences, New York : Springer Publishing , p. 101, ISBN 0387955542 , DOI 10.1007/9780387217468 
11. ↑ Harkin Anthony A., Harkin Joseph B. (2004), Az általánosított komplex számok geometriája , Mathematical Journal T. 77 (2): 118–129 , DOI 10.1080/0025570X.2004.11953236 
12. ↑ Yamaleev Robert M. (2005), Komplex algebrák az n -es rendű polinomokon és a trigonometria általánosításai, az oszcillátormodell és a Hamilton-dinamika , Advances in Applied Clifford Algebras V. 15 (1): 123–150, doi.01.0 : 071 /s00006- 005-0007-y , < http://www.clifford-algebras.org/v15/v151/YAMAL151.pdf > Archiválva 2011. július 22-én a Wayback Machine -nél 
13. ↑ Antippa Adele F. (2003), Combinatorial structure of trigonometry , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences T. 2003 (8): 475–500, doi : 10.1155/S0161171203106230 , < http://www.urnals.de/ . /HOA /IJMMS/2003/8475.pdf > Archivált 2021. június 28-án a Wayback Machine -nél