Lemma Farm

A Fermat- lemma kimondja, hogy egy differenciálható függvény deriváltja egy lokális szélsőpontban egyenlő nullával.

Háttér

Newton ezt a tényt ún . leállítási elv [1] :

Amikor a magnitúdó a legnagyobb vagy a legkisebb az összes lehetséges közül, akkor abban a pillanatban nem folyik sem előre, sem hátra.Isaac Newton

Nicholas Orezmsky terjesztette elő a szélességi és hosszúsági fokokról szóló tanában [2] .

Megfogalmazás

Legyen a függvénynek egy lokális szélsőértéke a definíciós tartomány egy belső pontjában . Legyenek egyoldalú véges vagy végtelen származékok is. Akkor $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x\in M^{0}$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

ha egy helyi maximum pont , akkor $x_{0}$ $f'_{+}(x_{0})\leqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\geqslant 0;$
ha egy helyi minimumpont , akkor $x_{0}$ $f'_{+}(x_{0})\geqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\leqslant 0.$

Különösen, ha a függvénynek deriváltja van , akkor $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0.

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy . Akkor . $f(x_{0})=\max _{{x\in (a,b)}}f(x)$ $\forall x\in (a,b)\colon f(x)\leqslant f(x_{0})$

Ezért:

f'_{-}(x_{0})=\lim _{{x\to x_{0}-0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}}\right)\geqslant 0,

f'_{+}(x_{0})=\lim _{{x\to x_{0}+0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}}\jobbra)\leqslant 0.

Ha a derivált definiálva van, akkor azt kapjuk $f'(x_{0})$

0\leqslant f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})\leqslant 0

vagyis . $f'(x_{0})=0$

Ha a függvény lokális minimumpontja , akkor a bizonyítás hasonló. $x_{0}$ $f$

Megjegyzés

A differenciálható függvény deriváltja egy lokális szélsőpontban egyenlő nullával. Érintője ebben a pontban párhuzamos az x tengellyel . Ennek a fordítottja általánosságban nem igaz, vagyis a derivált nullához való egyenlőségéből egy ponton a lokális szélsőség jelenléte ezen a ponton nem következik.

Példák

Hadd . Ekkor egy helyi minimumpont, és $f(x)=|x|$ $x=0$

f'_{+}(0)=1\geqslant 0

, (maga a függvény nem differenciálható a pontban ).

f'_{-}(0)=-1\leqslant 0

x=0

Hadd . Ekkor egy helyi minimumpont, és $f(x) = x^2$ $x=0$

f'(0)=0

Hadd . Akkor $f(x)=x^{3}$

f'(0)=0

, de a pont nem lokális extrémumpont.

x=0

Lásd még

Jegyzetek

↑ Fikhtengolts G. M. XIV. fejezet. A matematikai elemzés fő gondolatainak megjelenésének történeti vázlata // A matematikai elemzés alapjai. - 4. kiadás - Szentpétervár. : "Lan", 2002. - T. 1. - S. 423. - 448 p. - (Tankönyvek egyetemek számára. Szakirodalom). - 5000 példány. — ISBN 5-9511-0010-0 .
↑ Isaac Newton. Fordítói megjegyzések // Isaac Newton. Matematikai művek = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Fordítás latinból, bevezető cikk és megjegyzések: D. D. Mordukhai-Boltovsky .. - M. - L . : ONTI, 1937. - S. 318. - 452 p. - ( A természettudomány klasszikusai ). Archivált másolat (nem elérhető link) . Hozzáférés dátuma: 2011. január 17. Az eredetiből archiválva : 2011. február 27. (határozatlan)