Darboux tulajdonságtétel folytonos függvényre
A matematikai elemzésben a folytonos függvény Darboux-tulajdonságára vonatkozó tétel (D-tulajdonság) kimondja, hogy egy szegmens folytonos képe egy szegmens.
Megfogalmazás
Adjunk meg egy folytonos valós értékű függvényt egy intervallumon , akkor léteznek olyanok, amelyek
![{\displaystyle f:[a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f\in C^{0}{\bigl (}[a,b]{\bigr )} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7db075924b0ead08afd1b8301ac2d02bb3b309)
![f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=[c,d].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44edcd5a84d62f06673de042540c2a9044d97695)
Jegyzetek
- Ha a függvény állandó, akkor
- A Darboux tulajdonságtétel kimondja, hogy a folytonos leképezés bármely szakaszt leképez egy szegmensre. A függvénynek ezt a tulajdonságát Darboux tulajdonságnak nevezzük. A fordított állítás általában nem igaz. Tekintsük például a képlet által adott függvényt
![f:[0,1]\to \mathbb{R} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bafb1e62d4de21640d672bb803a68771832b379)
![f(x)=\left\{{\begin{mátrix}\sin \left({\frac {\pi }{2x}}\right),&x\in (0,1]\\0,&x=0 \end{mátrix}}\jobbra..](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00e028dffc37ef67209fb4c8c9730fd4e9c2400)
- Sierpinski tétele . Bármely függvény ábrázolható két függvény összegével a Darboux tulajdonsággal.
A Darboux tulajdonság monoton függvényekhez
Hagyja, hogy a függvény monoton növekedjen vagy csökkenjen a teljes intervallumon. Akkor és csak akkor rendelkezik a Darboux tulajdonsággal, ha folytonos.
![f:[a,b]\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
Általánosítás
A Darboux tulajdonság nem csak a folytonos függvényekre érvényes, hanem minden olyan függvényre is, amely egy másik függvény deriváltja . Ez utóbbiak folyamatos funkciókat tartalmaznak. Legyen - differenciálható a definíciós tartományon belül , azaz, és differenciálható a jobb oldalon a pontban : és a bal oldalon a pontban : Ekkor egy szakasz, egy zárt sugár vagy az egész egyenes (vagyis zárt és összefüggő ).
![F:[a,b]\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacd74b0bb95ed9ddf45676b1ad0f3d618c4cdc)
![f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bb8617481c8a74b87b45e322eae869304858bc)