Tömör orrú huszonnégy cella

Tömör orrú huszonnégy cella
Ortogonális vetítés háromdimenziós térbe - egy ikozaéderes cellán áthaladó hipersíkra
Típusú	Egységes többcellás
Schläfli szimbólum	s{3,4,3} sr{3,3,4} s{3 1,1,1 }
sejteket	144
arcok	480
borda	432
Csúcsok	96
Vertex figura	Tripla vágott ikozaéder

A huszonnégy cella egy négydimenziós poliéder , a 47 nem prizmatikus konvex homogén többsejt egyike és a 3 félig szabályos többsejt egyike (mivel kettőből áll különböző típusú platóni szilárd anyagok ).

Először egy 1900-as cikkben írta le Thorold Gosset [1] , aki a policellát tetrikozaédernek nevezte , mert sejtjei tetraéderek és ikozaéderek. Más néven snub-nosed icositetrachore , semi-snub polyoctahedron ( eng. semi-snub polyoctahedron ) [2] .

Leírás

144 háromdimenziós sejtre korlátozva - 120 szabályos tetraéder és 24 szabályos ikozaéder . Minden ikozaéder sejtet nyolc ikozaéder és tizenkét tetraéder vesz körül. A tetraéderes sejteket két csoportra osztják: közülük 24-et négy tetraéderes sejt, a maradék 96-ot három ikozaéder sejt és egy tetraéderes sejt veszi körül.

480 kétdimenziós lapja egyforma szabályos háromszög . 96 lap két ikozaéderes sejtet, 96 lap két tetraéderes sejtet, a maradék 288 ikozaéderes és tetraéderes sejtet választ el.

432 azonos hosszúságú bordája van. Három lap és három-három cella (két ikozaéder és egy tetraéder) 288 élen, négy lap és négy cella (ikozaéder és három tetraéder) a fennmaradó 144 élen konvergál.

96 csúcsa van. Minden csúcsnak 9 éle, 15 lapja és 8 cellája van (három ikozaéder és öt tetraéder).

Hatszáz cellából 24 ikozaéder piramist levágva kaphatunk egy huszonnégy orrú cellát úgy, hogy csak az alapjuk marad meg helyette. A kapott többcella csúcsai a hatszáz cella 120 csúcsából 96 (és az eltávolított 24 csúcs a szokásos huszonnégy cella csúcsait alkotja ); bordák - egy hatszáz cella 720 bordájából 432; arcok – egy hatszáz cella 1200 arcából 480. Ebből világosan látszik, hogy a huszonnégy cellában is van egy körülírt és mindketten félig feliratos háromdimenziós hipergömbök , és ezek egybeesnek az eredeti hatszáz cellás körülírt és félig feliratos hipergömbökkel.

Koordinátákban

Egy élhosszúságú, huszonnégyes, tompa orrú cellát elhelyezhetünk egy derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy csúcsainak koordinátái mind lehetséges számhalmazok akár permutációi is, ahol az aranymetszés aránya . $2$ $\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;\pm \Phi ^{2}\right),$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Ebben az esetben a koordináták origója a többcella szimmetriaközéppontja, valamint körülírt és félig beírt hipergömbeinek középpontja lesz. $\left(0;\;0;\;0;\;0\right)$

Ortogonális vetületek síkon

Metrikus jellemzők

Ha egy huszonnégy orrú sejtnek van egy éle, akkor négydimenziós hipertérfogata és háromdimenziós felszíni hiperterülete a következőképpen fejeződik ki: $a,$

V_{4}=5\left({\frac {9}{4}}+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 22{,}4303399a^{4},

S_{3}=10\left(3+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\kb 66{,}5028154a^{3}.

A leírt hipergömb sugara (amely áthalad a többcella összes csúcsán) akkor egyenlő lesz

R=\Phi a={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,

a külső félig beírt hipergömb sugara (amely minden élt a felezőpontjában érint) -

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,

a belső félig feliratos hiperszféra sugara (az összes oldalt a középpontjában érinti) -

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a .

Lehetetlen úgy beilleszteni egy hipergömböt egy huszonnégy orrú cellába, hogy az minden sejtet érintsen. A legnagyobb hipergömb sugara, amely egy huszonnégy élű, huszonnégy orrú cellába helyezhető (csak a középpontjukban érinti az összes ikozaéder sejtet) $a$

r_{I}={\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}3090170a.

A többcella középpontja és bármely tetraéder cella közötti távolság meghaladja és egyenlő ${\displaystyle r_{I))$

r_{T}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}4976762a.

Térkitöltés

Huszonnégy cellával, tizenhat cellával és öt cellával egy négydimenziós teret csempézhet fel hézagok és átfedések nélkül (lásd az angol Wikipédia cikket) . Ezt a tölteléket Thorold Gosset is megtalálta.

Jegyzetek

↑ Thorold Gosset. A reguláris és félreguláris figurákról n dimenziós térben. – A matematika hírnöke, 1. köt. 29. - Macmillan, 1900. - pp. 43-48.
↑ John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. A dolgok szimmetriája. - 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 . — p. 401.

Linkek

George Olshevsky. Nyomtatás #11: Snub icositetrachoron háló