Ikozaéder piramis

Ikozaéder piramis
Schlegel-diagram : szabályos ikozaéder piramis vetülete ( perspektíva ) háromdimenziós térbe
Típusú	Poliéder piramis
Schläfli szimbólum	( ) ∨ {3,5}
sejteket	21
arcok	ötven
borda	42
Csúcsok	13
Kettős politóp	dodekaéder piramis

Az ikozaéder piramis egy négydimenziós poliéder (policella): poliéder , amelynek alapja egy ikozaéder .

Leírás

21 háromdimenziós sejtre korlátozva - 20 tetraéder és 1 ikozaéder . Az ikozaéder sejtet mind a húsz tetraéder veszi körül; minden tetraéder sejtet egy ikozaéder sejt és három tetraéder vesz körül.

50 kétdimenziós lapja háromszög . 20 lap választja el az ikozaéderes és a tetraéderes sejteket, a maradék 30 pedig két tetraéderes.

42 bordája van. Három lap és három cella (ikozaéder és két tetraéder) fut össze a 30 élen, öt lap és öt-öt cella (csak tetraéder) a maradék 12 élen.

13 csúcsa van. 12 csúcson 6 él konvergál, mindegyik 10 lap és egyenként 6 cella (ikozaéder és öt tetraéder); 1 csúcsnak 12 éle, 30 lapja és mind a 20 tetraédersejtje van.

Izoéder ikozaéder piramis

Ha egy ikozaéder piramis minden éle egyenlő hosszú , akkor lapjai egyenlő szabályos háromszögek . Egy ilyen piramis felületének négydimenziós hipertérfogata és háromdimenziós hiperterülete a következőképpen van kifejezve: $a$

V_{4}={\frac {5}{96}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 0{,}1685452a^{4},

S_{3}={\frac {5}{12}}\left(3+4{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 4 {,}5387176a^{3}.

A piramis magassága ekkor lesz

H={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)a\approx 0{,}3090170a,

a leírt hiperszféra sugara (a többcella összes csúcsán áthalad) -

R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,

a külső félig beírt hipergömb sugara (amely minden élt a felezőpontjában érint) -

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,

a belső félig feliratos hiperszféra sugara (az összes oldalt a középpontjában érinti) -

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a ,

a beírt hiperszféra sugara (minden sejtet érint) -

r={\frac {\left(4{\sqrt {2}}-5\right)\left(2+{\sqrt {5}}\right)-1}{12}}\;a \kb 0{,}1485399a.

A beírt hipergömb középpontja a piramis belsejében, a körülírt és mindkét félig beírt hipergömb középpontja ugyanabban a pontban található a piramison kívül.

Ilyen piramist úgy kaphatunk, hogy egy hatszáz cella bármely csúcsának konvex burkát és mind a 12 szomszédos csúcsot egy éllel összekötjük.

A két szomszédos tetraéder cella közötti szög ugyanolyan lesz , mint egy hatszáz cellában. Az ikozaéder cella és bármely tetraéder cella közötti szög ekkor lesz $\arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 164{,}48^{\circ },$ $\arccos {\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {5)))){4}}\kb 22{,}24^{\circ }.$

Koordinátákban

Egy élhosszúságú izoéder ikozaéder piramis egy derékszögű koordinátarendszerbe helyezhető úgy, hogy a csúcsai koordinátákkal rendelkeznek $2$

$\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0\right),$
$\left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm 1;\;0\right),$
$\left(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0;\;0\right),$
$\left(0;\;0;\;0;\;\Phi ^{-1}\right),$

ahol az aranymetszet aránya . $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Linkek

Richard Klitzing. Ikozaéder piramis