Korrelációs függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Korrelációs függvény - az idő és a térbeli koordináták függvénye , amely véletlenszerű folyamatokkal rendelkező rendszerekben beállítja a korrelációt .

Definíció

Két véletlenszerű függvény időfüggő korrelációja, és a következőképpen definiálható: $X(t)$ $Y(t)$

$C(t,t^{\prime })=\langle X(t)Y(t^{\prime })\rangle$

ahol a szögletes zárójelek az átlagolási eljárást jelölik.

Ha a korrelációs függvényt ugyanarra a folyamatra számítjuk, akkor autokorrelációnak nevezzük :

$C_{auto}(t,t^{\prime })=\langle X(t)X(t^{\prime })\rangle$ .

Hasonlóképpen kiszámíthatjuk a korrelációs függvényt a tér különböző pontjain , különböző időpontokban zajló folyamatokra:

$C(t,\mathbf {r} ,t^{\prime },\mathbf {r} ^{\prime })=\langle X(t,\mathbf {r} )Y(t^{\ prím },\mathbf {r} ^{\prime })\rangle$ .

A korrelációs függvényeket széles körben használják a statisztikai fizikában és más tudományágakban, amelyek véletlenszerű (sztochasztikus) folyamatokat vizsgálnak .

Korrelációs függvény a statisztikai fizikában

A statisztikai fizikában a korrelációs függvény azt írja le, hogy a mikroszkopikus változók (például az atomok sebessége ) hogyan kapcsolódnak egymáshoz a tér különböző pontjain különböző időpontokban. A legáltalánosabb definíció a következő:

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{ 2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t+\tau \right)\right\rangle$

hol vannak azok a függvények , amelyek összefüggéseit vizsgálni akarjuk, a szögzárójelek a statisztikai együttes (például a kanonikus ) átlagolását jelentik. $f_{1},f_{2}$

Egyidejű korrelációs függvények

Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a mikroszkopikus változók korrelált módon változnak-e ugyanabban az időpontban a tér különböző pontjain , akkor figyelembe vehetünk függvényeket ugyanabban az időpontban, akkor a korrelációs függvényüket a következőképpen írjuk fel: $f_{1},f_{2}$

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\ left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t\right)\right\rangle$

egy ilyen korrelációs függvényt szimultánnak nevezünk .

Hasonlóképpen bevezethető egy szimultán korrelációs függvény arra az esetre, amikor nem két függvény van, hanem s darab: $f_{1},f_{2}$

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n}\right)=\left\langle f_{1 }\left(\mathbf {r} _{1},t\right)\dots f_{s}\left(\mathbf {r} _{n},t\right)\right\rangle$

Térbeli korrelációs függvények

Néha figyelembe kell venni a mikroszkopikus változók időbeli alakulását. Ehhez a térbeli korrelációs függvényt használjuk :

$G\left(\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\ mathbf {R} ,t+\tau \right)\right\rangle$

Ugyanakkor fontos megérteni, hogy annak ellenére, hogy egyensúlyban néhány makroszkopikus változó nem függ az időtől, a mikroszkopikus változók (például egy részecske sebességvektora ) függhetnek az időtől, és ezért az ilyen korrelációs függvények, amelyek lényegében makroszkopikus mennyiségek, időtől is függhetnek.

Példák

A korrelációs függvények egyik példája a radiális eloszlásfüggvény .

Mágnesesség

A korrelációs függvények másik klasszikus példája a spinek rendszerében található , ahol leírja a skaláris szorzatát az együttesre átlagolva :

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \jobbra)\jobbra\rangle$ ahol S a részecske spinje , a zárójelek az együttes átlagolást jelölik .

A spinek még a paramágneses fázisban is korrelálnak, hiszen ha kicsi a távolság köztük, akkor a spinek között kölcsönhatás lép fel, ami oda vezet, hogy a spinek korrelálnak, de további rendeződésüket a hőmozgás megakadályozza . Ezért kiderül, hogy a spinek közötti korrelációk exponenciálisan csökkennek a köztük lévő távolság növekedésével:

$G\left(\mathbf {r} \right)\approx {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta ))}\exp \left({\frac {-\ mathbf {r} }{\xi }}\jobbra))$

ahol a spinek közötti távolság, d a dimenzió , az ún. kritikus index . A hőmérséklet csökkenésével a hőmozgás gyengül, és a korrelációs sugár a végtelenbe hajlik: $\mathbf {r}$ $\eta$ $\xi$

$\xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu }$

ahol van egy másik kritikus index , a Curie-hőmérséklet . $\nu$ $T_{c}$

E képlet következtében az ilyen rendszerekben másodrendű fázisátalakulás következik be .

Az s rendű részecskék számának korrelációs sűrűségfüggvénye

Példaként különösen az s rendű részecskék számának sűrűségének korrelációs függvényét vehetjük figyelembe - ez az alak függvénye

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{s}\right)\right\rangle$

ahol az érték

${\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{én})$

A részecskék számának mikroszkopikus sűrűségének nevezzük abban az értelemben, hogy egy bizonyos V térfogaton integrálva meg tudjuk találni a benne lévő részecskék számát :

$\int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}$

Az s = 2 esetben a részecskeszám sűrűségének korrelációs függvényét párfüggvénynek nevezzük .

A részecskeszám-sűrűség összekapcsolt korrelációs függvénye

Bevezetésre kerül a részecskék számának sűrűségének összefüggő korrelációs függvényének fogalma is : ez egy olyan korrelációs függvény, amely 0-ra hajlik, ha a részecskéket 2 csoportra osztjuk, majd a csoportokat elválasztó távolság a végtelenbe hajlik. Az "összekapcsolt" kifejezés azt jelenti, hogy az ilyen korrelációs függvény diagramszerű kiterjesztése csak összekapcsolt diagramokat tartalmaz. $\left(\mathbf {r} _{i_{1}}\dots \mathbf {r} _{i_{l}}\right)$ $\left(\mathbf {r} _{j_{1}}\dots \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\ l+m=s$

Van egy ún. a korrelációk gyengítésének elve : egy klasszikus rendszer sokrészecske-eloszlási függvényei a megfelelő argumentumok különbségeinek végtelen növekedésével kisebb argumentumszámú sokrészecske-eloszlási függvények szorzataira bomlanak [1] , ahonnan, különösen a következő:

$G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right) }\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Ezért a következő kifejezést írhatjuk fel a részecskeszám-sűrűség kétrészecskével összefüggő korrelációs függvényére:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2 \right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _ {1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)$

Hasonló módon vezetjük be a részecskeszám magasabb rendű sűrűségének összefüggő korrelációs függvényeit:

$G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)= G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+ G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\ jobb)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r } _{1},\mathbf {r} _{2}\jobbra)G^{\left(1\jobbra)}\left(\mathbf {r} _{3}\jobbra)+G_{coh}^ {\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\jobbra)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\jobbra) G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Funkcionális generálás

A részecskék számának sűrűségének korrelációs függvényeihez létrehozható egy generáló függvény :

$G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right){\hat {n))\left(\mathbf {r} \right )\mathrm {d} \mathbf {r} }\jobbra\rangle$

Ezután a sűrűségkorrelációs függvényt a generáló függvény variációs deriváltjaként vezetjük be:

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1)) ,\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\ delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r_{s)) \ jobb)}}\right|_{a=0}$

Hasonlóképpen bevezethető egy összekapcsolt korrelációs függvény:

$G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{101} \frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}$

ahol

$W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)$

Fizikai jelentés

A korrelációs függvény a rendszer rendezettségének mértéke. Megmutatja, hogy a mikroszkopikus változók átlagosan hogyan korrelálnak különböző időpontokban különböző időpontokban.

A részecskeszám sűrűsége korrelációs függvényének fizikai jelentése az, hogy s részecske relatív elrendezésének valószínűségi sűrűségét mutatja . Az összefüggések megjelenése a részecskék közötti kölcsönhatás jelenlétének köszönhető, melynek következtében rövid hatótávolságú rend jön létre .

Fontos megjegyezni, hogy a következő összefüggés áll fenn:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta { \hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle$

hol van a sűrűségingadozás . Így a részecskeszám-sűrűség összefüggő korrelációs függvénye a részecskék relatív helyzetének valószínűségi sűrűségének ingadozásait írja le. $\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle$

Ezenkívül a korrelációs függvények a legáltalánosabb formában felhasználhatók egyéb ingadozások, például a részecskék számának és a hőmérséklet ingadozásának meghatározására is.

Korrelációs függvény a kvantumtérelméletben

A kvantumtérelméletben az n-pontú korrelációs függvény definícióját n kronológiailag rendezett mező szorzatán keresztül vezetjük be : ${\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\ ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D))\phi \;Te^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ ldots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ]))))$

ahol — Időrendi sorrendű operátor , — cselekvés . $T$ $S$

A korrelációs függvényt gyakran egyszerűen korrelátornak is nevezik .

Korrelációs függvény a nagy energiájú fizikában

A nagy energiájú fizikában a korrelációs függvény néhány megfigyelhető mennyiség közötti korreláció mértéke . A hadron-hadron ütközések (például proton- proton vagy nukleáris-nukleáris ) tanulmányozása során a különböző megfigyelhető mennyiségek, például az ütközés következtében keletkező másodlagos részecskék keresztirányú momentumai vagy többszörösei közötti összefüggések elemzése széleskörben használt.

Az ilyen folyamatok tanulmányozásakor szokás olyan változókat használni, mint a sebesség vagy a pszeudo -sebesség . Általában két intervallumot (úgy nevezett ablakot ) veszünk figyelembe a gyorsasági térben, amelyek a gyorsítóban ütköző részecskenyalábok ütközési pontjának ellentétes oldalán helyezkednek el , ezért a megfigyelt mennyiségek között ebben az esetben fellépő összefüggések , amelyek a A gyorsaságot (vagy pszeudo -gyorsságot ) gyakran "előre-hátra korrelációnak" nevezik.

A határozottság kedvéért tekintsük az úgynevezett "multiplicitás-multiplicitás korrelációkat", ahol a multiplicitás egy olyan függvény, amely egy adott intervallumhoz tartozó sebességű részecskék számát adja meg. Ebben az esetben a korrelációs függvényt úgy vezetjük be, mint az egyik (általában helyes) gyorsasági intervallum átlagos multiplicitásának függését egy másik intervallumban lévő multiplicitástól. Lineáris korrelációs függvény esetén a következő kifejezést kapjuk:

${\displaystyle {\langle n_{f}\rangle }_{\langle n_{b}\rangle }=a+b\cdot n_{b))$

Ez a feltevés teljesen összhangban van a különböző részecskegyorsítóknál kapott kísérleti adatokkal , beleértve az SPS -t és a Fermilab -ot is.A fenti képletből származó b értékét hosszú távú korrelációs együtthatónak nevezzük. A fenti képlet eredményeként a következő képletet kaphatjuk a korrelációs együtthatóhoz:

$b={\frac {\left\langle n_{b}n_{f}\right\rangle -\left\langle n_{f}\right\rangle \left\langle n_{b}\right\rangle }{D_{n_{f}}}}}$

Az így talált korrelációs együttható lehetővé teszi a hadronütközések során előforduló jelenségek fizikájának tanulmányozását . A korrelációs együttható nullától való eltérése különösen azt jelentheti, hogy a vizsgált mennyiségek (jelen esetben az első és a hátsó ablakok multiplicitásai) valamilyen módon összefüggenek, de a kapott függőségeknek nincs szükségszerűen ok-okozati összefüggése .

A korrelációs függvények és jellemzőinek becslése

Az ACS korrelációs függvények kiszámításához szükséges bemeneti műveleteinek értékelése kísérletileg történik, azok megvalósításának hosszú távú T megfigyelésével és a következő képlet szerinti számítással: $r_{x}(\tau )=1/T\int \limits _{0}^{T}x(t)x(t+\tau )dt$

Irodalom

Hegy. T. Statisztikai mechanika, M., 1960
Cooney F. M. Statisztikai fizika és termodinamika, M.: Nauka, 1981
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V., Quantum fields, 2. kiadás, M., 1993
A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, I. E. Dzjalosinszkij. A kvantumtérelmélet módszerei a statisztikai fizikában., M., Fizmatgiz, 1962
Fizikai enciklopédia (szerk. Prokhorov)
Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Methods of Statistical physics, M: Nauka, 1977

Lásd még

Korreláció

Autokorrelációs funkció

A nagy hadronütköztető

Jegyzetek

↑ Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Methods of Statistical physics, M: Nauka, 1977 - 111. o.