Polinomok gyűrűje

A polinomgyűrű olyan gyűrű , amelyet egy vagy több változó polinomjai alkotnak egy másik gyűrű együtthatóival . A polinomiális gyűrűk tulajdonságainak tanulmányozása nagy hatást gyakorolt a modern matematika számos területére; Példák hozhatók a Hilbert-féle alaptételre , a dekompozíciós mező felépítésére és a lineáris operátorok tulajdonságainak vizsgálatára .

Polinomok egy változóban egy mező felett

Polinomok

Egy x - beli polinom , amelynek együtthatói a k mezőben vannak, az alak kifejezése

p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0},

ahol p 0 , ..., p m a k elemei, a p együtthatók és az x , x 2 , ... formális szimbólumok („ x fokok ”). Az ilyen kifejezések a szokásos cselekvési szabályok szerint összeadhatók és szorozhatók algebrai kifejezésekkel (összeadás kommutativitása, disztributivitás , hasonló kifejezések redukciója stb.). A p k nulla együtthatójú p k x k kifejezéseket általában kihagyjuk a jelölésből. Az összeg szimbólum használatával a polinomokat tömörebb formában írjuk:

p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0}=\sum _{k=0 }^{m}p_{k}x^{k}.

Polinom gyűrű k [ x ]

Az összes együtthatóval rendelkező polinom halmaza kommutatív gyűrűt alkot , amelyet a polinomok feletti gyűrűjének jelölünk és nevezünk . A szimbólumot általában "változónak" nevezik, ez a terminológia a feletti vagy feletti polinomiális függvények figyelembevételéből származik . Általában azonban a polinomok és a polinomfüggvények különböző dolgok; például egy prímszámú elem véges mezején a és polinomok ugyanazt a függvényt határozzák meg, de ezek különböző polinomok (a polinomokat akkor és csak akkor tekintjük egyenlőnek, ha minden együtthatójuk egybeesik). Ezért a változó nem tekinthető a mezőhöz tartozónak ; Elképzelhető egy ilyen gyűrű : hozzáadunk egy új elemet a mező elemeinek halmazához, és csak azt követeljük meg, hogy a gyűrű axiómái érvényesek legyenek és ingázzanak a mező elemeivel. $k$ $k[x]$ $k$ $x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {F} _{p}$ $p$ $x^{1}$ $x^{p+1}$ $x$ $k$ $k[x]$ $x$ $x$

Mivel a polinomgyűrű elemei megszorozhatók egy mezőből származó " skalárokkal ", gyakorlatilag egy mező feletti asszociatív algebra . Ha vektortérnek tekintjük (vagyis "felejtsd el" a szorzást), végtelen bázisa van a , stb . elemeknek . $k$ $k$ $k[x]$ $1=x^{0}$ ${\displaystyle x=x^{1))$ $x^{2}$

Prímtényezősítés k -ban [ x ]

Egy k [ x ] gyűrűben az egyik polinom felosztható egy másikkal (például az oszloposztási algoritmus segítségével ) maradékkal. Ebben az esetben a maradék foka kisebb lesz, mint az osztó mértéke, így a "polinom foka" függvény euklideszi függvény , a polinomok gyűrűje pedig euklideszi . Ebből következik, hogy a polinomok gyűrűjében megvalósítható az euklideszi algoritmus a legnagyobb közös osztó megtalálására , ami azt jelenti, hogy egyszerűekre bontás történik (az ilyen gyűrűket faktoriálisnak nevezzük ). Ebből az is következik, hogy k [ x ] egy fő ideális tartomány .

Tényezőgyűrűk k [ x ]

Tekintsünk egy k mezőt tartalmazó kommutatív L gyűrűt úgy, hogy az L gyűrűnek létezik olyan θ eleme , hogy L -t θ generálja k felett , azaz L bármely eleme kifejezhető θ -val és a k mező együtthatóival összeadás és szorzás. Ekkor létezik egy egyedi φ gyűrűhomomorfizmus k [ x ]-től L - ig , amely "megőrzi" k -t és x -et θ -nek küld . Ennek a leképezésnek a szürjektivitása pontosan azt jelenti, hogy L -t θ generálja k felett . A homomorfizmus-tételt erre a leképezésre alkalmazva azt kapjuk, hogy L izomorf a k [ x ] hányadosgyűrűvel a φ kernelhez képest ; mivel minden ideál k [ x ] - ben fő ,

L\simeq k[x]/(p).

Fontos speciális eset, amikor a k -t tartalmazó gyűrű maga is mező; jelöljük K -vel . A hányados modulus egyszerűsége egyenlő az irreducibilitással . A primitív elem tétel kimondja, hogy bármely véges elválasztható kiterjesztést létrehozhat egyetlen elem, ezért polinomiális gyűrűtényező alakja van egy irreducibilis polinom által kisebb mező felett. Példa erre a komplex számok mezője, amelyet R felett egy i elem generál úgy, hogy i 2 + 1 = 0 . Ennek megfelelően az x 2 + 1 polinom irreducibilis R és felett ${\megjelenítési stílus (p)}$ $p$

\mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).

Általánosabban fogalmazva, egy tetszőleges (akár nem kommutatív) A gyűrűre , amely k -t és A egy a elemét tartalmazza, amely a k összes elemével kommutál , létezik egy egyedi gyűrűhomomorfizmus k [ x ]-től A -ig, amely x -et a -nak küld :

\phi :k[x]\to A,\quad \phi (x)=a.

Az ilyen homomorfizmus létezése és egyedisége a polinomgyűrű egy bizonyos univerzális tulajdonságában fejeződik ki, és megmagyarázza a polinomgyűrű bizonyos "egyediségét" a gyűrűelmélet és a kommutatív algebra különféle konstrukcióiban .

Modulok

k [ x ] egy fő ideális tartomány , ezért a megfelelő struktúratétel vonatkozik a felette lévő modulokra . Ez az osztályozás fontos a lineáris operátorok elméletében, mivel a k [ x ] feletti modulok egy az egyhez felelnek meg a k vektoros tér lineáris operátorainak.

Polinomok gyűrű felett

A gyűrű feletti polinomok pontosan ugyanúgy vannak definiálva, mint a mező feletti polinomok, de a fent felsorolt tulajdonságok többsége már nem igaz rájuk. Először is, az osztási algoritmus nem alkalmazható tetszőleges gyűrű feletti polinomokra, mert egy gyűrűben még nulla fokú (konstans) polinomokkal sem lehet osztani. Ezért általában a polinomiális gyűrű nem euklideszi (még csak főideális tartomány sem), de R [ x ] faktoriális marad , ha R maga is faktoriális. Ugyanebben az értelemben, amikor egy polinomi gyűrűre lépünk, az integritás és a Noether -tulajdonságok megmaradnak (ez utóbbi eredményt Hilbert-féle alaptételként ismerjük ).

Polinomok több változóban

Definíció

Egy n változós X 1 ,…, X n polinom, amelynek együtthatói a K mezőben vannak, hasonlóan egy változóban lévő polinomhoz, de a jelölés bonyolultabbá válik. Bármilyen többindexű α = ( α 1 ,…, α n ), ahol minden α i egy nullától eltérő egész szám, legyen

X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{\alpha _{i}}=X_{1}^{\alpha _{1}}\ ldots X_{n}^{\alpha _{n)),\quad p_{\alpha }=p_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n))\in \mathbb {K} .\

X α - t fokmonomiálisnak nevezzük . A polinom olyan monomoknak véges lineáris kombinációja, amelyek együtthatói K : . ${\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i))$ ${\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha ))$

Az n változóban lévő polinomok együtthatókkal egy k mezőben (a szokásos összeadás és szorzás műveletekkel) egy kommutatív gyűrűt alkotnak, amelyet k [ x 1 ,…, x n ]-vel jelölünk. Ezt a gyűrűt a "polinomok gyűrűjének átvétele egy adott gyűrűre" művelet ismételt alkalmazásával kaphatjuk meg. Például k [ x 1 , x 2 ] izomorf k [ x 1 ][ x 2 ]-re, mint ahogy k [ x 2 ][ x 1 ] is. Ez a gyűrű alapvető szerepet játszik az algebrai geometriában . A kommutatív algebrában számos eredményt értek el ennek a gyűrűnek és a felette lévő moduloknak a tanulmányozása révén.

Hilbert nulltétel

A k [ x 1 ,…, x n ] gyűrűideálok és a k n algebrai részváltozatok közötti kapcsolatra vonatkozó számos alapvető eredményt együttesen Hilbert-féle nulltételként ismerjük.

( gyenge forma, algebrailag zárt mező ) Legyen k algebrailag zárt mező . Ekkor a k [ x 1 ,…, x n ] gyűrű bármely m maximális ideálja alakja

m=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n}),\quad a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}.

( gyenge alak, tetszőleges együtthatómező ) Legyen k egy mező, K egy algebrailag zárt mező , amely k -t tartalmaz , I pedig egy ideál a k [ x 1 ,…, x n ] gyűrűben. Ekkor akkor és csak akkor tartalmazok 1-et, ha az I -ben szereplő polinomoknak nincs közös nullája K n -ben .
( erős alak ) Legyen k egy mező, K egy algebrailag zárt mező , amely k -t tartalmaz , I egy ideál a k [ x 1 ,…, x n ] gyűrűben és V ( I ) egy algebrai alváltozat , K n , amelyet I határoz meg . Legyen f egy nullával egyenlő polinom V ( I ) minden pontjában . Ekkor valamilyen f fok tartozik az I ideálhoz .

Az ideális gyök definícióját használva ez a tétel kimondja, hogy f az I gyökhöz tartozik. A tétel ezen formájának azonnali következménye a bijektív megfeleltetés a K [ x 1 ,…, x n ] radikális ideálok és a K n n - dimenziós affin tér algebrai részváltozatai között .

Lásd még

Irodalom

Tsit Yuen Lam. A nem kommutatív gyűrűk első tanfolyama. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2001. - ISBN 978-0-387-95325-0 .
Serge Lang. Algebra. — 3. - New York: Springer-Verlag, 2002. - V. 211. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
M. Scott Osborne. Alapvető homológiai algebra. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000. - T. 196. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-0-387-98934-1 .