Quaternion Hurwitz

A matematikában a Hurwitz-kvaternió (vagy Hurwitz-egész szám ) olyan kvaternió , amelynek összetevői vagy mind egész számok , vagy mind fél - egészek (páratlan számok fele; egészek és fél-egészek nem megengedettek). Az összes Hurwitz kvaternió halmaza

H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ vagy }}\, a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.

Kimutatható, hogy H szorzás és összeadás esetén zárt, így az összes kvaternió gyűrűjének részgyűrűje .

A Lipschitz Quaternion (vagy Lipschitz Integer ) egy olyan kvaternió, amelynek minden összetevője egész szám . Az összes Lipschitz kvaternió halmaza

{\displaystyle L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\))

algyűrűt alkot a Hurwitz kvaterniógyűrűben .

Csoportként H egy szabad Abel-csoport { 1(1+ i + j + k ), i , j , k } generátorokkal. Így R 4 -ben rácsot képez . Ezt a rácsot F 4 rácsként ismerjük, mert ez az F 4 félig egyszerű Lie algebra gyökérrácsa . Az L Lipschitz-kvaternió részrácsot alkot H -ben .

Az L egységcsoportja a Q = {±1, ± i , ± j , ± k } kvaterniócsoportot alkotja . A H egységcsoportja nem Abel - féle, és egy 24-es rendű csoportot alkot, amelyet bináris tetraédercsoportnak neveznek . Ez a csoport 8 Q elemet és 16 kvaterniót tartalmaz {½(±1± i ± j ± k )}, ahol a jelek tetszőleges kombinációban vehetők fel. A kvaterniócsoport az U ( H ) tetraéder bináris csoportjának normális alcsoportja . Az 1-es normával rendelkező U ( H ) elemei egy 3 gömbbe írt 24-éder csúcsait alkotják .

A képlet által adott Hurwitz-kvaternió normája mindig egész szám. Lagrange tétele szerint bármely nem negatív egész szám ábrázolható négy (vagy kevesebb) egész szám négyzetének összegeként . Így bármely nem negatív egész szám valamely Lipschitz (vagy Hurwitz) kvaternió normája. Egy egész Hurwitz akkor és csak akkor prímelem , ha normája prím . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2))$

Lásd még

Linkek

Conway D. H. , Smith D. A. Hurwitz integer kvaterniók // Kvaterniókról és oktávokról : geometriájukról, aritmetikájukról és szimmetriáikról / ford. S. M. Lvovsky - M. : MTsNMO , 2009. - S. 71-80. — 184 p. - 1000 példányban. — ISBN 978-5-94057-517-7