Interpoláció algebrai polinomokkal

Egy valós argumentum függvényének algebrai polinomjaival történő interpolálása egy szegmensen - a -nál kisebb vagy egyenlő fokú polinom együtthatóinak megtalálása , amely felveszi az argumentum értékeit , a halmazt interpolációs csomópontoknak nevezzük : $f(x)$ $[a,b]$ $P_n(x)$ $n$ $x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_n$ $f(x_{i})$ $x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_n$

P_{n}(x_{i})=f(x_{i}),\quad i=0,\ 1,\ ...,\ n.

Az ilyen polinom együtthatóit meghatározó lineáris algebrai egyenletrendszer alakja: $a_{i}$

P_{n}(x_{i})=a_{0}+a_{1}x_{i}+a_{2}x_{i}^{2}+\ldots +a_{n}x_{ i}^{n}=f(x_{i}),\quad i=0,\ 1,\ \ldots ,\ n.

Determinánsa a Vandermonde determináns .

\triangle ={\begin{vmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&...&x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2} &...&x_{1}^{n}\\.......\\1&x_{n}&x_{n}^{2}&...&x_{n}^{n}\end{ vmatrix}}=\prod _{i,j=0 \atop i>j}^{n}(x_{i}-x_{j}).

Nem nulla bármely páronként eltérő érték esetén , és egy függvénynek a csomópontokban lévő értékeivel történő interpolálása polinom segítségével mindig lehetséges és egyedi. $x_{i}$ $f(x)$ $x_{i}$ $P_n(x)$

Alkalmazás

Az így kapott interpolációs képletet gyakran használják az interpolációs csomópontokon kívüli argumentumértékek függvényértékeinek hozzávetőleges kiszámítására . Ugyanakkor megkülönböztetjük a szűk értelemben vett interpolációt , amikor , és extrapolációt , amikor . $f(x)\approx P_{n}(x)$ $f$ $x$ $x\in\left[a,b\right]$ $x\not \in \left[a,b\right]$

Interpolációs probléma a térben

Adjunk meg olyan pontokat a térben , amelyeknek valamilyen koordinátarendszerben sugárvektorai vannak $n$ ${\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{n))$ $\mathbf {r} _{1},\ \mathbf {r} _{2},\ \dots ,\ \mathbf {r} _{n}.$

Az interpoláció feladata a megadott pontokon a megadott sorrendben átmenő görbe felépítése.

A probléma megoldása

Egy fix rendezett ponthalmazon keresztül végtelen számú görbe rajzolható, így a tetszőleges függvény általi interpoláció problémájának nincs egyedi megoldása. A megoldás egyedisége érdekében bizonyos megszorításokat kell bevezetni a függvény formáját illetően.

A görbéket a következő formában készítjük el , ahol a paraméter egy bizonyos intervallumon belül változik : ${\mathbf {r}}(t)$ $t$ $[a,\b]$

a\leq t\leq b

Vezessünk be egy pontrácsot a szegmensre : és követeljük meg, hogy a paraméter értékénél a görbe átmenjen a ponton , így ${\megjelenítési stílus [a,b]}$ $\{t_{i}\}$ $n$ $a=t_{1}<t_{2}<t_{3}<\pontok <t_{n}=b$ ${\megjelenítési stílus t=t_{i))$ $P_{i}$ $\mathbf {r} (t_{i})=\mathbf {r} _{i}.$

A parametrizálás és a grid bevezetése többféleképpen történhet. Általában vagy egy egységes rácsot választunk, feltételezve , hogy , , , vagy még előnyösebben a pontokat szegmensek kötik össze, és a szegmens hosszát veszik a paraméterértékek különbségének . $a=0$ $b=n-1$ $t_{i}=i-1$ ${\displaystyle t_{i+1}-t_{i))$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i+1}-\mathbf {r} _{i))$

Az egyik elterjedt interpolációs módszer az, hogy a görbét fokszámú polinomként , azaz függvényként használjuk: $t$ $n-1$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {p} ^{(n-1)}(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {a} _{k} t^{nk}.

A polinomnak vannak együtthatói , amelyek a feltételekből kereshetők: $n$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{k))$

\mathbf {r} (t_{i})=\mathbf {r} _{i}.

Ezek a feltételek az együtthatók lineáris egyenletrendszeréhez vezetnek : ${\displaystyle \mathbf {a} _{k))$

${\begin{pmatrix}1&t_{1}&t_{1}^{2}&\ldots &t_{1}^{n-1}\\1&t_{2}&t_{2}^{2}&\ lpontok &t_{2}^{n-1}\\\vpontok &\vpontok &\vpontok &&\vpontok \\1&t_{n}&t_{n}^{2}&\lpontok &t_{n}^{n-1 }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{n}\\\mathbf {a} _{n-1}\\\vdots \\\mathbf {a} _{1} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {r} _{1}\\\mathbf {r} _{2}\\\vdots \\\mathbf {r} _{n}\end {pmátrix}}$

Megjegyzendő, hogy az együtthatók megtalálásához például háromdimenziós térben három egyenletrendszert kell megoldani: -re , és koordinátákat. Mindegyiknek van egy együttható mátrixa, amelyet megfordítva a pontok sugárvektorainak értékei alapján kiszámítják a polinom együtthatóinak vektorait. Mátrix meghatározó $x$ $y$ $z$ ${\mathbf {r}}_{i}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{k))$

$W(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{vmatrix}1&t_{1}&t_{1}^{2}&\ldots &t_{1}^ {n-1}\\1&t_{2}&t_{2}^{2}&\lpontok &t_{2}^{n-1}\\\vpontok &\vpontok &\vpontok &&\vpontok \\1&t_{n }&t_{n}^{2}&\lpontok &t_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{i,j,i>j}(t_{i}-t_{j })$

Vandermonde-determinánsnak nevezik . Ha a rács csomópontjai nem egyeznek, az nem nulla, és az egyenletrendszernek egyedi megoldása van.

A közvetlen mátrixinverzión kívül számos más módszer is létezik az interpolációs polinom kiszámítására. A polinom egyedisége miatt írásának változatos formáiról beszélünk.

Előnyök

Egy adott ponthalmaz és egy paraméterrács esetén a görbe egyedileg épül fel.
A görbe interpoláló, azaz minden megadott ponton áthalad.
A görbének tetszőleges sorrendű folytonos deriváltjai vannak.

Hátrányok

A pontok számának növekedésével nő a polinom sorrendje, és ezzel együtt a görbe pontjának kiszámításához végrehajtandó műveletek száma is.
A pontok számának növekedésével az interpolációs görbe oszcillálhat (lásd az alábbi példát).
A pontok számának növekedésével nem alkalmas extrapolációra , mivel az interpolációs szegmensen kívüli fokpolinom értéke mindig a végtelen felé divergál (minél gyorsabban, annál jobban ), függetlenül az extrapolált függvény konvergenciájától . $n>0$ $n$

Példa

Egy klasszikus példa ( Runge ), amely bemutatja az oszcillációk előfordulását egy interpolációs polinomban, a függvényértékek egységes rácsán történő interpoláció $f(x)={\frac {1}{1+x^{2))}.$

Vezessünk be egy egységes rácsot , , a szakaszra , és vegyük figyelembe annak a polinomnak a viselkedését, amely a pontokban veszi fel az értékeket . $[-5,5]$ $x_{i}=-5+(i-1)h$ $h=10/(n-1)$ $1\leq i\leq n$ $y(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{ni},$ $x_{i}$ $y_{i}=1/(1+x_{i}^{2})$

Az ábra magának a függvénynek a grafikonját mutatja (szaggatott vonal) és három interpolációs görbét a következőhöz: $n=3,5,9$

interpoláció a rácson - másodfokú parabola; $x_{1}=-5,x_{2}=0,x_{3}=5$
az interpoláció a rácson egy negyedik fokú polinom; $x_{1}=-5,x_{2}=-2,5,x_{3}=0,x_{4}=2,5,x_{5}=5$
az interpoláció a rácson nyolcadfokú polinom. $x_{1}=-5,x_{2}=-3,75,x_{3}=-2,5,x_{4}=-1,25,x_{5}=0,x_{6}=1,25,x_ {7}=2,5,x_{8}=3,75,x_{9}=5$

Az interpolációs polinom értékei még a közbenső pontokban lévő sima függvényeknél is, amelyek nem esnek egybe az interpoláció csomópontjaival, erősen eltérhetnek magának a függvénynek az értékétől, a polinom ilyen viselkedését oszcillációnak nevezik.