Ideális szám

Az ideális számokat 1847-ben Ernst Eduard Kummer német matematikus vezette be [1] , és kiindulópontul szolgáltak a később Dedekind által bevezetett gyűrűideál meghatározásához . Jelenleg ezt a kifejezést nem használják, és az ideál fogalma váltotta fel.

Egy gyűrűben lévő ideál akkor fő , ha olyan elemekből áll, amelyek valamelyik elem többszörösei, ellenkező esetben nem fő . Így a gyűrű minden egyes száma a főideálhoz köthető, miközben feltételezhetjük ideális számok létezését, amelyek egy tetszőleges ideálnak felelnének meg.

Példa

Legyen y az y ² + y + 6 = 0 egyenlet gyöke , akkor a mező egész számainak gyűrűje , azaz minden a + alakú kifejezés , ahol a és b az egész számok gyűrűjének elemei . Példa egy nem-főideálra egy ilyen gyűrűben a 2 a + yb , ahol a és b egész számok; ennek az ideálnak a kocka fő, az osztálycsoport 3-as rendű ciklikus. A megfelelő osztálymezőt úgy kapjuk meg, hogy az összes w ³ − w − 1 = 0 alakú elemet összeadjuk a -val , ami . A 2 a + yb nem-főideál ideális száma . Mivel kielégíti az egyenletet , ez egy algebrai egész szám. ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Z} [y]$ ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Q} (y,w)$ $\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$ $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$

Az osztálymező egész számok gyűrűjének minden eleme ι-val megszorozva a α + b β alakot adja , ahol $\mathbb {Z} [y]$

\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23

és

\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.

Az α és β együtthatók algebrai egész számok is kielégítőek

\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0

és

\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0

illetőleg. Egy α + b β-t megszorozva a ι ideális számmal, 2 a + -t kapunk , ami nem főideál.

Történelem

Kummer először 1844 -ben írt egy homályos folyóiratban a ciklotomikus (kör alakú) mezők nem egyedi faktorizációjának lehetőségéről; a cikket 1847-ben megismételték Liouville folyóiratában . További cikkeiben 1846 -ban és 1847 -ben publikálta alaptételét a (valós és ideális) prímtényezőkké történő faktorizáció egyediségéről.

Kummerről úgy tartják, hogy Fermat utolsó tételének tanulmányozása közben jutott el az "ideális komplex számok" gondolatáig . még azt is mondják, hogy Kummer, akárcsak Lame , úgy gondolta, hogy bebizonyította Fermat utolsó tételét, mígnem Dirichlet azt mondta neki, hogy érvelése a faktorizáció egyediségén nyugszik; de ezt a történetet először Kurt Hansel mesélte el 1910 -ben , és valószínűleg Hansel egyik forrásának hibájából eredt. Harold Edwards azt mondta, hogy "az a hiedelem, hogy Kummert komolyan érdekelte Fermat utolsó tétele, kétségtelenül téves".

Kummer elképzeléseinek általánosítását Kronecker és Dedekind végezte el a következő negyven évben. A közvetlen általánosítás komoly nehézségekbe ütközött, ami miatt Dedekind megalkotta a modulok és ideálok elméletét . Kronecker a formaelmélet (a másodfokú formák általánosítása ) és az osztók elméletének kidolgozásával foglalkozott a nehézséggel . Dedekind munkája képezte a gyűrűelmélet és az általános algebra alapját , Kronecker munkája pedig az algebrai geometria fő eszközét .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Ideális // Kazahsztán. Nemzeti Enciklopédia . - Almati: Kazah enciklopédiák , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Orosz) (CC BY SA 3.0)

Irodalom

Nicolas Bourbaki: A matematika történetének elemei. Springer-Verlag, NY, 1999.
Harold M. Edwards, Fermat utolsó tétele. Általános bevezetés a számelméletbe. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
C. G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus állandó, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; újranyomva a Jourban. deMath. 12 (1847) 185-212.
EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. Fur Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
John Stilwell, Bevezetés az algebrai egész számok elméletébe, Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Nagy-Britannia, 1996.

Linkek

Ideális számok , Bizonyíték arra, hogy az ideális számelmélet megőrzi a ciklotómikus egészek faktorizálásának egyediségét, Fermat Last Theorem blogjában .