Tökéletes pont

Egy helytelen pont , ideális pont , omega pont vagy pont a végtelenben [1] egy jól meghatározott pont egy hiperbolikus síkon vagy téren kívül. Adott egy l egyenes és egy P pont az l - en kívül , akkor a P - n átmenő egyenesek jobb és bal oldali párhuzamosak az l egyenes határában , ideális pontokban konvergálnak l - hez .

A projektív esettel ellentétben az ideális pontok inkább határt , mint részsokaságot alkotnak. Így ezek az egyenesek nem egy ideális pontban metszik egymást , és az ilyen pontok, bár jól meghatározottak , nem tartoznak magához a hiperbolikus térhez.

Az ideális pontok együtt alkotják a Cayley abszolútumot vagy a hiperbolikus geometria határát . Például az egységkör a Poincaré lemezmodell és a Klein lemezmodell Cayley abszolútumát alkotja . Ugyanakkor a valós egyenes alkotja a félsík modell Cayley abszolútumát [2] .

A Pasch-axióma és a háromszög külső szögére vonatkozó tétel érvényes egy omega-háromszögre , amelyet a hiperbolikus tér két pontja és egy omega-pont határoz meg [3] .

Tulajdonságok

Ideális csúcsú sokszögek

Tökéletes háromszögek

Ha egy háromszög minden csúcsa tökéletes pont, akkor a háromszög tökéletes háromszög .

A tökéletes háromszögeknek számos érdekes tulajdonsága van:

Ideális négyszögek

Ha egy négyszög minden csúcsa ideális pont, akkor a négyszög tökéletes négyszög.

Bár minden tökéletes háromszög egybevágó, nem minden négyszög egybevágó, az átlók különböző szögekben metszhetik egymást, ami inkongruens négyszögeket eredményez:

Tökéletes négyzet

Egy tökéletes négyszög, amelyben két átló merőleges , tökéletes négyzetet alkot.

A tökéletes négyzetet Ferdinand Karl Schweikart használta memorandumában, amelyben megemlíti az "asztrális geometriát". Ez volt az egyik első publikáció, amely elismerte a hiperbolikus geometria lehetőségét [5] .

Ideális n -gons

Hogyan lehet n - szögeket felosztani ( n -2) tökéletes háromszögekre, és a sokszög területe egyenlő lesz a tökéletes háromszög területével ( n -2) .

Ábrázolások a hiperbolikus geometria modelljeiben

A hiperbolikus sík Klein -korong-modelljében és Poincare-korong-modelljében az ideális pontok az egységkörök (hiperbolikus sík esetén) vagy az egységgömb (nagyobb dimenziójú terek esetében), amelyek a hiperbolikus tér elérhetetlen határai.

Ugyanaz a hiperbolikus egyenes a Klein -korongmodellben és a Poincaré-korong-modellben ugyanazon a két ideális ponton halad át.

Klein lemezmodell

Ha a nyitott egységkorongon két különálló p és q pont van, az őket összekötő egyetlen egyenes az egységkört két ideális pontban , a és b pontban metszi (feltéve, hogy a pontok a , p , q , b sorrendben vannak ), így | aq| >|ap| és |pb| > |qb|. Ekkor p és q közötti hiperbolikus távolságot adjuk meg

A Poincaré lemezmodell

Adott két különböző p és q pont egy nyitott egységkorongon, akkor a határra merőleges egyetlen körív , amely a pontokat összeköti, az egységkört két ideális pontban , a és b pontban metszi (feltételezve, hogy a pontok a , p sorrendben vannak , q , b ), így |aq| >|ap| és |pb| > |qb|. Ekkor p és q közötti hiperbolikus távolságot adjuk meg

Itt a távolságot az aq, ap, pb és qb (egyenes) szakaszok mentén mérjük.

A Poincaré félsík modell

A félsík modellben az ideális pontok a határtengely pontjai. Van egy másik ideális pont is, amely nem tartozik a félsík modellhez (de a pozitív y -féltengellyel párhuzamos sugarak közelítik meg).

Hiperbolikus modell

A hiperboloid modellben nincsenek helytelen pontok .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Komatsu, 1981 , p. 103-104.
  2. ↑ Struve, Struve, 2010 , p. 151–170.
  3. ↑ Hvidsten, 2005 , p. 276–283.
  4. ↑ Thurston, 2012 .
  5. ↑ Bonola, 1955 , p. 75–77.

Irodalom