Aszimptotikusan párhuzamos egyenesek

A semleges vagy abszolút geometriában és a Lobacsevszkij-geometriában sok olyan egyenes lehet, amely párhuzamos egy adott egyenessel , és áthalad egy ezen az egyenesen kívüli ponton. Azonban két párhuzamos lehet közelebb, mint a többi (egy-egy mindkét oldalon). $R$ $P$ $R$

Ebben az esetben van értelme a párhuzamosság egy másik definícióját adni semleges geometriára. Ha egy adott egyeneshez nagyon közeli párhuzamosok vannak, akkor azokat aszimptotikusan párhuzamosnak vagy a határértékben párhuzamosnak nevezzük .

A sugarak esetében az aszimptotikus párhuzamossági reláció egy ekvivalencia reláció , amely terminális ekvivalencia relációt tartalmaz.

Az aszimptotikus párhuzamok egy aszimptotikus háromszög két vagy három oldalát alkothatják.

Definíció

Egy sugár aszimptotikusan párhuzamos egy sugárral , ha koterminálisak, vagy ha különböző egyeneseken fekszenek, amelyek nem egyenlők -vel , nem metszik egymást, és a szögön belüli bármely sugár metszi a sugarat [1] . $Aa$ $Bb$ $AB$ $BAa$ $Bb$

Tulajdonságok

Az aszimptotikus párhuzamos sugarakat tartalmazó különböző egyenesek nem metszik egymást.

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy a különböző párhuzamos sugarakat tartalmazó egyenesek metszik egymást. Értelemszerűen nem metszik egymást azon az oldalon , amelyen a sugár van . Ekkor a sugárral ellentétes oldalon kell metszniük egymást , jelöljük ezt a pontot . Ekkor (itt P = derékszög) . Ellentmondás. $AB$ $a$ $AB$ $a$ $C$ $\angle CAB+\angle CBA<2P\Jobbra \angle aAB+\angle bBA>2P$

Lásd még

Egy horociklus a Lobacsevszkij geometriában, egy görbe , amelynek normálisai aszimptotikusan párhuzamosak
Párhuzamos szög

Jegyzetek

↑ Hartshorne, 2000 .

Irodalom

Robin Hartshorne . Geometria: Euklidész és azon túl. — Corr. 2. print.. - New York, NY [ua]: Springer, 2000. - ISBN 978-0-387-98650-0 .