Differenciálszámítás

A kalkulus a matematikai elemzés egyik ága , amely a derivált és a differenciál fogalmát tanulmányozza, valamint azt, hogy hogyan alkalmazhatók a függvények tanulmányozására . A differenciálszámítás kialakulása Isaac Newton és Gottfried Leibniz nevéhez fűződik . Ők voltak azok, akik egyértelműen megfogalmazták a fő rendelkezéseket, és rámutattak a differenciálás és az integráció kölcsönösségére. A differenciálszámítás létrehozása (az integrállal együtt) új korszakot nyitott a matematika fejlődésében. Ehhez kapcsolódnak olyan tudományágak, mint a sorozatelmélet, a differenciálegyenletek elmélete és még sok más. A matematikai elemzés módszerei a matematika minden ágában alkalmazásra találtak. A matematika természettudományi és technológiai alkalmazási területe nagyon elterjedt.

A differenciálszámítás olyan fontos matematikai fogalmakra épül, amelyek meghatározása és tanulmányozása a matematikai elemzés bevezetésének tárgya: valós számok (számegyenes), függvény, határ, folytonosság. Mindezek a fogalmak modern értelmezést kaptak a differenciál- és integrálszámítás fejlesztése és igazolása során.

A differenciálszámítás alapötlete egy függvény vizsgálata a kicsiben. Pontosabban, a differenciálszámítás olyan apparátust biztosít olyan függvények vizsgálatára, amelyek viselkedése az egyes pontok kellően kis környezetében közel áll egy lineáris függvény vagy egy polinom viselkedéséhez. Az ilyen apparátusok a differenciálszámítás központi fogalmai: a derivált és a differenciál .

Egy változó függvényeinek differenciálszámítása

Származék

Legyen egy függvény definiálva egy szomszédságban , és bármely > 0 esetén létezik olyan, hogy $g(h)$ $h=0$ $\epsilon$ $\delta$

|g(h)/h^{n}|<\epszilon

, éppen

|h|<\delta ,

akkor azt mondjuk, hogy a sorrend végtelenül kicsi . $g(h)$ $o(h^{n})$

Legyen a szegmensen definiált valós értékű függvény . Ezt a függvényt végtelenül differenciálhatónak nevezzük az if intervallumon $f(x)$ $(a,b)$ $(a,b)$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\pontok {\frac {1}{ n!}}f^{{(n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

bárkinek és bárkinek . Így lokálisan, a szakasz bármely pontjának közelében a függvény tetszőlegesen jól közelíthető egy polinom segítségével . A szegmensen sima függvények sima függvények gyűrűjét alkotják . $x\in(a,b)$ $n$ $(a,b)$ $C^{\infty }(a,b)$

Esély $f^{{(n)}}(x)$

f^{{(m)}}(x+h)=f^{{(m)}}(x)+f^{{(m+1)))(x)h+\pontok {\frac {1 }{n!}}f^{{(m+n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

Ezeket a függvényeket a függvény deriváltjainak nevezzük . Az első derivált korlátként számítható $f(x)$

f'(x)=\lim \limits _{{h\to 0}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

Azt az operátort , amely egy függvényt a deriváltjára képez le, a következővel jelöljük $f(x)$ $f'(x)$

D={\frac {d}{dx))

Ezenkívül két f és g sima függvény esetén

D(f+g)=Df+Dg

és

D(fg)=fDg+gDf

Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező operátort sima függvények gyűrűjének levezetésének nevezzük.

Bármely analitikus függvény , amely holomorf az intervallumon , sima függvény, de fordítva nem igaz. A fő különbség az analitikus és a sima függvények között, hogy az előbbieket teljesen meghatározza egy pont közelében való viselkedésük, míg az utóbbiakat nem. Például egy sima függvény lehet állandó egy pont közelében, de nem mindenhol állandó. Az elemi függvények (nyitott) definíciós tartományukban analitikus és ennek következtében sima függvények. Az analitikus függvényekkel ellentétben azonban a sima függvények különböző időközönként definiálhatók különböző elemi kifejezésekkel. $(a,b)$

Érintővonal

Egyenes

y=f(c)+f'(c)(xc)

átlépi a görbét

y=f(x)

egy ponton oly módon, hogy a kifejezés jele $(c, f(c))$

f(x)-f(c)-f'(c)(xc)={\frac {1}{2}}f''(c)(xc)^{2}+o((xc)^{ 2})

feltétele mindig ugyanaz marad, tehát a görbe $f''(c)\not =0$

y=f(x)

a vonal egyik oldalán fekszik

y=f(c)+f'(c)(xc)

A jelzett tulajdonságú egyenest a görbe érintőjének nevezzük egy pontban ( B. Cavalieri szerint ). Az a pont , ahol a görbe $x=c$ $x=c$

y=f(x)

nem a vonal ugyanazon az oldalán fekszik

y=f(c)+f'(c)(xc)

inflexiós pontnak nevezzük , míg az egyenest továbbra is érintőnek. Az egységesség érdekében magát az érintő fogalmát gyakran másképp vezetik be, így mindkét eset alá tartozik.

Extrém pontok

Egy pontot lokális maximum ( minimális ) pontnak nevezünk, ha $x=c$

f(c)-f(c+h)>0\quad (f(c)-f(c+h)<0)

minden kellően kicsi modulhoz . A kapcsolatból $h$

f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0

azonnal világos, hogy szükséges feltétele a maximumnak, és elégséges feltétele a maximumnak. A feltétel kiemeli a maximum, minimum és inflexiós pontokat. $f'(c)=0$ $f''(c)<0$ $f''(c)=0$

Folyamatos függvények

Legyen definiált és az intervallum végén ; folyamatosnak mondják , ha létezik ilyen $f$ $[a,b]$ $[a,b]$ $\epsilon$ $\delta$

|f(x)-f(x+h)|<\epszilon

, éppen

|h|<\delta ,

és a pontok nem lépnek túl az intervallum határain . A Weierstrass-tétel kimondja, hogy egy intervallumon sima függvény eléri minimális és maximális értékét egy intervallumon. A függvény folytonosságának fogalmát általában a függvény határának fogalmához kötik . Az intervallumon folytonos függvények folytonos függvények gyűrűjét alkotják . $x,\,x+h$ $[a,b]$ $[a,b]$ $Taxi]$

Történelem

A 12. században a török-mongol Hulagu állambeli Sharafuddin at-Tusi matematikus volt az első, aki egy köbfüggvény származékát találta meg, ami fontos eredmény a differenciálszámításban. Írtak egy "Treatise on Equations"-t, amelyben a differenciálszámítással kapcsolatos fogalmakat dolgoztak ki, mint például a függvény deriváltja, valamint a görbék maximumai és minimumai, olyan köbegyenletek megoldására , amelyeknek nem lehet pozitív megoldása.

A differenciálszámítás alaptételei

A folyamatos és egyenletesen bekapcsolt függvénygyűrűnek számos fontos tulajdonsága van: $[a,b]$ $(a,b)$

Rolle tétele : ha , akkor van egy maximum vagy minimum pont , ahol eltűnik. $f(a)=f(b)$ $c\in(a,b)$ $f'$
Lagrange tétele : van egy olyan pont , hogy $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Cauchy-tétel : ha be van , akkor létezik olyan pont , hogy $g'\not=0$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))

A Lagrange-tételből levezetjük a Taylor-képletet egy Lagrange-alakú maradék taggal: bármely szakaszon vannak olyan pontok , $(a',b')\alhalmaz (a,b)$ $c_n$

f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a') )^{2}+\pontok {\frac {1}{n!}}f^{{(n)}}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}

ahol

R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}f^{{(n+1)}}(c_{n})(b'-a')^{{n+1 }}

Ezzel a képlettel megközelítőleg kiszámíthatja egy függvény értékeit egy pontban a függvény ismert értékeiből és deriváltjaiból egy pontban . $b'$ $a'$

Cauchy tételéből L'Hopital szabálya származik : ha vagy , és -on , akkor $f(b)=g(b)=0$ $f(b)=g(b)=\infty$ $g'\not=0$ $(a,b)$

\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},

a második határ megléte pedig az első létét jelenti.

Lásd még

Variációszámítás
Számos változó függvényének elemzése
Integrálszámítás
A történeti vázlatot és a bibliográfiát lásd a Calculus cikkben .
Differenciálszámítás kommutatív algebrákon

Irodalom

Grave D.A .,. Differenciálszámítás // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Vinogradov I.M. (szerk.) Matematikai enciklopédia . 2. kötet Moszkva : Szovjet Enciklopédia , 1977
Bronshtein IN , Semendyaev KA , Matematika kézikönyve mérnökök és műszaki főiskolai hallgatók számára . Moszkva: Nauka, 1981.