Differenciálszámítás kommutatív algebrákon

A kommutatív algebrák közötti differenciálszámítás a kommutatív algebra egyik ága , amely a múlt század hetvenes éveiben alakult ki.

Skaláris operátorok

Legyen egy mező, egy mező feletti algebra , kommutatív és egységgel, és legyen -lineáris leképezés, . Az algebra bármely eleme felfogható szorzási operátorként: . Az operátorok és általában véve nem ingáznak, és az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha -homomorfizmus. $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $\Delta \colon A\to A$ $\Bbbk$ $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $a\in A$ $a(b)=ab,\ b\in A$ $a$ $\Delta$ $a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta ]=0$ $\Delta$ $A$

1. definíció . differenciális operátornak (DO) nevezzük, amelynek sorrendje től- ig, ha van $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $\leq n$ $A$ $A$ $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0.

A től ig sorrendű összes TO halmazát jelöli . Két rendbeli DO összege ismét DO sorrend lesz , és a halmaz stabil mind a bal, mind a jobb oldali algebra elemekkel való szorzása tekintetében , tehát a természetes bimodulus szerkezettel van felruházva . $\leq n$ $A$ $A$ $\mathrm {Diff} _{n}A$ $\leq n$ $\leq n$ $\mathrm {Diff} _{n}A$ $A$ $A$

Levezetések

Az algebrapontokat -homomorfizmusoknak nevezzük től -ig . Jelölje az algebra összes pontjának halmazát , amely a Zariski topológiával van felszerelve . Az algebraelemek a tér függvényeiként értelmezhetők beállítással . $A$ $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $A$ $\vert A\vert$ $A$ $\vert A\vert$ $a(z)=z(a),\ z\in \vert A\vert$

2. definíció . A leképezést a tér érintővektorának nevezzük egy pontban , ha az adott pontban teljesíti a Leibniz-szabályt: $\Delta _{z}\colon A\to \Bbbk$ $\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$

\Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\in A.

Az összes érintővektor halmaza egy pontban a feletti vektortér természetes szerkezetével rendelkezik . A pontban lévő tér érintőterének nevezzük . $T_{z}\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$ $\Bbbk$ $\vert A\vert$ $z$

3. definíció . A leképezést egy algebra levezetésének nevezzük ben értékekkel, ha megfelel a Leibniz-szabálynak: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $A$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Egy algebra összes levezetésének halmaza a -ban értékekkel rendelkezik egy bal oldali modul természetes szerkezetével . (A jobb szorzás nem őrzi meg ezt a halmazt.) Bármilyen differenciálás meghatározza az érintővektorok családját minden pontra : . $D(A)$ $A$ $A$ $A$ $\Delta$ ${\displaystyle \Delta _{z))$ $z\in \vert A\vert$ $\Delta _{z}(f)=(\Delta (f))(z)$

A származékok természetesen a megrendelés ELŐTT : $\leq 1$

{\displaystyle D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff} _{1}A\ \vert \ \Delta (k)=0\ \forall k\in \Bbbk \))

Meghatároztuk a bal oldali modulok természetes izomorfizmusát $A$

\mathrm {Diff} _{1}A=D(A)+A.

Sima függvények

Ha a sima függvények algebrája a sokaságon , akkor természetesen fel van ruházva egy sima sokaság szerkezetével, és kiderül, hogy . $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $\vert C^{\infty }(M)\vert$ $\vert C^{\infty }(M)\vert =M$

Tétel . Legyen és legyen lokális koordinátarendszer a -nak valamelyik szomszédságában . Ekkor a korlátozások a következő formában írhatók fel $\Delta \in \mathrm {Diff} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)$ $x_1,\pontok,x_n$ $U\ részhalmaz M$ $\Delta$ $\nabla$ $U$

\nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\partial }{\partial x_{i))}, \quad \alpha _{i}\in C^{\infty }(U)

\Delta {\big |}_{U}=\sum _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\partial ^{|\sigma |} }{\partial x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)

Más szóval, az M-en lévő sima függvények algebra esetében a DO "algebrai" definíciója egybeesik a klasszikus definícióval, és az algebra származékai vektormezők a -n . $C^{\infty }(M)$ $M$

Általános eset

Legyen modulok vége . Az 1. és 3. definíciók változatlanok maradnak erre az esetre: $P,\Q$ $A$

4. definíció . A -homomorfizmust lineáris differenciáloperátornak nevezzük, amelynek sorrendje tõl ~ ig van , ha van ilyen $\Bbbk$ $\Delta \colon Q\to P$ $\leq n$ $K$ $P$ $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0

5. definíció . A leképezést egy algebra levezetésének nevezzük ben értékekkel, ha megfelel a Leibniz-szabálynak: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $P$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

A -tól -ig sorrendű összes DO halmaza egy bimodule over , és a to összes származékának halmaza egy bal -modul. $\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)$ $\leq n$ $K$ $P$ $A$ $\mathrm {D} (P)$ $A$ $P$ $A$

Ha a sima függvények algebrája a sokaságon , akkor a projektív véges generált -modulok nem mások, mint véges dimenziós vektorkötegek szakaszainak moduljai over . Ebben az esetben a 4. definíció a vektorértékű függvényekre vonatkozó DO-kat írja le, amelyek azokat vektorértékű függvényekké alakítják át, míg az 5. definíció a vektorértékű vektormezőket írja le. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $A$ $M$

Objektumok ábrázolása és geometriázás

Funkciók és reprezentálhatók: $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )$ $\mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad )$

Tétel . 1. Vannak olyan egyedi -modulok és levezetések , hogy bármely -modulhoz létezik természetes izomorfizmus $A$ $\lambda$ $d\colon A\to \Lambda$ $A$ $K$

\mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).

2. Vannak egyedi -modulok és DO -sorrendűek , így minden -modulnál létezik természetes izomorfizmus $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}\colon P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\leq n$ $A$ $K$

\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Diff} _{n}(P ,Q).

A származtatást és a DO - t rendre univerzális differenciálásnak és univerzális DO -nak nevezzük , a modulokat pedig az elsőrendű differenciálformák moduljának és a rendű fúvókák moduljának . (Néha a "jet" kifejezést használják a "jet" kifejezés helyett.) $d$ $j_n$ $\leq n$ $\lambda$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $n$

A modulok és modulok egyszerűen le vannak írva "az ujjakon". Ugyanis a -modult az űrlap minden lehetséges eleme generálja, amelyre a következő relációk érvényesek: ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\lambda$ $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}(p),\ p\in P$

j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\ \forall k\in \Bbbk ,\ p\in P

{\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots ]]]{\big )}(p)= 0\ \forall p\in P,\ a_{0},\dots ,a_{n}\in A

, hol , és így tovább.

{\big (}[a_{0},j_{n}]{\big )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p ),\quad {\big (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\big )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p) -a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)

Hasonlóképpen a -modult az űrlap minden lehetséges eleme generálja, amelyre a következő relációk érvényesek: $A$ $\lambda$ $da,\ a\in A$

d(ka)=kda\ \forall k\in \Bbbk ,\ a\in A

d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A

Természetes lenne itt is azt várni, hogy az algebra számára a differenciálformák "közönséges" differenciálformák lesznek a sokaságon , a jetek pedig "hétköznapi" fúvókák , de ez nem így van. Ennek az az oka, hogy az algebrai konstrukciókban vannak láthatatlan elemek , azaz nem nulla elemek, amelyek ennek ellenére a sokaság minden pontjában nullával egyenlők . Például legyen , a differenciálforma nem nulla, de . Azokat a modulokat , amelyek nem tartalmaznak láthatatlan elemeket, geometrikusnak nevezzük. Bármely -modul esetén az összes láthatatlan elem halmaza egy almodult alkot, amelynek tényezője egy geometriai modul, és jelölése . A és a modulok , ahol egy geometriai modul, a függvények és a geometriai modulok kategóriájában a reprezentációs objektumok lesznek . Ezek izomorfnak bizonyulnak a "közönséges" differenciálformák moduljával, illetve a "hétköznapi" fúvókák moduljával. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $M$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{1))$ $e^{x}dx-de^{x}\in \Lambda$ ${\displaystyle (e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\ \forall z\in \mathbb {R} ^{1))$ $C^{\infty }(M)$ $C^{\infty }(M)$ $S$ $G(S)$ $G(\Lambda )$ $G({\mathcal {J}}^{n}(P))$ $P$ $\mathrm{D}$ $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )$ $A=C^{\infty }(M)$

Osztályozott algebrák

Ez az elmélet könnyen átültethető a fokozatos algebrák (a régi terminológiában szuperalgebrák) esetére, ahol különösen az olyan konstrukciókra ad új pillantást, mint az integrálformák és a Berezin integrál.

Alkalmazások

Az a tény, hogy a differenciálszámítás a kommutatív algebra egyik ága, önmagában is érdekes, és szorosan összefügg az egyik legfontosabb fizikai fogalommal – a megfigyelhető fogalmával . Az invariáns algebrai konstrukciók lehetővé teszik, hogy ott dolgozzunk, ahol a klasszikus koordináta-megközelítés túl nehézkes, vagy akár lehetetlen, például szingularitású vagy végtelen dimenziós sokaságok esetén. Használják a Hamiltoni és Lagrange-féle mechanikában , a megmaradási törvények elméletében, a másodlagos számításokban , nem is beszélve az algebrai és a differenciálgeometriáról .

Történelmi háttér

A DO meghatározása a kommutatív algebrák feletti modulok kategóriájában egymástól függetlenül P. Gabriel [1] , S. Suzuki [2] és A. M. Vinogradov [3] munkáiban jelent meg . Azonban csak A. M. Vinogradov ismerte fel a DO algebrai megközelítésének teljes fontosságát, és ennek az elméletnek a kidolgozásához ő és tanítványai adták a fő hozzájárulást.

Lásd még

Jegyzetek

A _ _ lect. Jegyzetek matematikából. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
↑ Satoshi Suzuki , Kommutatív gyűrűk különbségei, Queen's University tanulmányok tiszta és alkalmazott matematikából, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
↑ A. M. Vinogradov , Lineáris differenciáloperátorok elméletének logikai algebra Archiválva : 2021. december 12., a Wayback Machine , DAN 205:5 (1972), 1025-1028.

Irodalom

Jet Nestruev , Smooth Manifolds and Observables , MCNMO, Moszkva, 2000.
A. M. Vinogradov, I. S. Dyer : Mi a hamiltoni formalizmus? // Előrelépések a matematikai tudományokban. - 1975. - V. 30., 1. szám (181), - 173-198.
A. M. Vinogradov, I. S. Krasilshchik, V. V. Lychagin , Bevezetés a nemlineáris differenciálegyenletek geometriájába, 1. fejezet. Lineáris differenciáloperátorok kommutatív algebrákban M., Nauka, 1986.
A. M. Vinogradov , Néhány homológiai rendszer a differenciálszámítással kapcsolatban kommutatív algebrákban // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1979. - V. 34., 6. szám (210), - 145–150.
IS Krasil'shchik , Előadások a lineáris differenciáloperátorokról kommutatív algebrákon. Eprint DIPS-01/98
A differenciálszámítás algebrai vonatkozásai, szerkesztette: Joseph Krasil'shchik és Alexandre Vinogradov , - Az Acta Applicandae Mathematicae speciális száma, 49. kötet, 3. szám, 1997. december, 321 oldal, ISSN: 0167-8019. (E számban található cikkek egyenként elektronikusan elérhetők: DIPS-01/96 , DIPS-02/96 , DIPS-03/96 , DIPS-04/96 , DIPS-05/96 , DIPS-06/96 , DIPS-07 / 96 , DIPS-08/96 ).
IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky , Homological Methods in Equations of Mathematical Physics, Open Ed. és Sciences, Opava (Cseh Köztársaság), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2 .
Alexandre M. Vinogradov , A differenciálszámítás logikája és a geometriai szerkezetek állatkertje, arXiv:1511.06861 .
AM Vinogradov , Parciális differenciálegyenletek és másodlagos számítások kohomológiai elemzése, – AMS "Matetikai monográfiák fordítása" sorozat, vol. 204, 247 oldal, 2001.