A szekunder differenciálszámítás a modern matematikának egy olyan ága , amely a klasszikus differenciálszámítást a sokaságon kiterjeszti a nemlineáris parciális differenciálegyenletek megoldásainak terére. A másodlagos differenciálszámítás felfedezésének érdeme Alekszandr Mihajlovics Vinogradov professzoré .
A matematikában kapcsolat van az algebra és a geometria között, vagyis bármely algebrai egyenlethez találhat geometriai analógot. A nemlineáris differenciálegyenletek geometriai megfelelői nagyon összetett, néha végtelen dimenziójú, sok szerkezetű geometriai objektumok ( karakterkúpok , L-sugarak stb.); részletes tanulmányozásukra hozták létre ezt a matematikai apparátust.
Ez az elmélet a klasszikus elemzés másodlagos analógjaival működik (másodlagos vektormezők, másodlagos modulok egy másodlagos sima függvényalgebrán stb.). Ebben az elméletben diffeotópokat vezetnek be - geometriai objektumokat, amelyek ugyanolyan szerepet játszanak benne, mint az algebrai változatok az algebrai egyenletek elméletében. Ezek egy speciális típusú sokaság, általában végtelen dimenziójúak, végtelen rendű érintkezési szerkezettel vannak felszerelve. A másodlagos differenciálszámítás egy diffeotópokon végzett differenciálszámítás, amely figyelembe veszi ezt az érintkezési struktúrát. A diffeotópok végtelen dimenzióssága lehetetlenné teszi a differenciálszámítás szabványos módszerekkel történő megalkotását. Éppen ezért itt elkerülhetetlen az algebrai megközelítés alkalmazása.
Figyelemreméltó és váratlan tény, amely a másodlagos differenciálszámítás megalkotása során derült ki, hogy objektumai bizonyos differenciálkomplexumok kohomológiai osztályai, amelyek természetesen keletkeznek a diffeotópokon.
Ezen elmélet alapján egy szintetikus matematikai elméletet hoztak létre, amelyet diffeotopiának neveztek (nem tévesztendő össze a befoglaló izotópiával ). Ez két elmélet szintézise - az elsődleges differenciálszámítás, vagyis a kommutatív algebrák feletti differenciálszámítás funkcionális elmélete és a másodlagos differenciálszámítás. Ez a matematika egy új, dinamikusan fejlődő ága, amely számos modern matematikai tudományág sajátos és természetes szintézise, mint például a nemlineáris parciális differenciálegyenletek geometriai elmélete, kommutatív és homológ algebra, algebrai topológia, algebrai és differenciálgeometria, differenciálszámítás. kommutatív algebrák és mások. A diffeotópia tényleges problémái két nagy csoportra oszthatók. Az első az elsődleges és másodlagos számítások alapstruktúráinak azonosításával és tanulmányozásával kapcsolatos problémákat tartalmaz. A második osztály számos technikai és számítási problémát foglal magában, amelyek konkrét problémák diffeotop módszerekkel történő megoldásához kapcsolódnak. Például az összes megmaradási törvény vagy Bäcklund-transzformáció megtalálásának problémája egy adott differenciálegyenlet-rendszerre, amely a másodlagos számítás szempontjából algoritmikus, példája ennek az osztálynak a legegyszerűbb problémájára. A másodlagos differenciálszámítás módszereivel végzett tényleges számítások gyakran olyan bonyolultnak és időigényesnek bizonyulnak, hogy végrehajtásuk megfelelő számítógépes támogatás nélkül lehetetlenné válik. Ezért a szimbolikus „másodlagos” számításokhoz megfelelő speciális szoftver kifejlesztése rendkívül fontos feladat.
Ez az elmélet már a modern fizikában is alkalmazásra talál, nevezetesen: a modern kvantumtérelméletnek a BRST kvantáláshoz és az antimező formalizmushoz kötődő szakasza természetesen és fogalmilag is átláthatóan le van írva a másodlagos differenciálszámítás nyelvén (az ehhez kapcsolódó fizika rész a kohomológiai fizikának hívják ).