Csatlakozás (nem kommutatív geometria)

A kvantumrendszerek geometriája (például a nem kommutatív geometria és a szupergeometria ) modulok és algebrák algebrai kifejezéseivel is megfogalmazható . A modulokon való kapcsolat általánosítja a vektorkötegeken lévő lineáris kapcsolatot , amely a szakaszok -modulján lévő kapcsolatként van írva . [egy] $E\to X$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$

Kommutatív geometria

Legyen egy kommutatív gyűrű és egy -modul. Számos egyenértékű definíció létezik a kapcsolódásra vonatkozóan . [2] Legyen a gyűrű levezetési modulja . A -modulon lévő kapcsolat a -modulok morfizmusa $A$ $P$ $A$ $P$ $D(A)$ $A$ $A$ $P$ $A$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

úgy, hogy az elsőrendű differenciáloperátorok nem tesznek eleget a Leibniz-szabálynak $\nabla _{u}$ $P$

\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.

A modulon egy kommutatív gyűrűn keresztüli kapcsolat mindig létezik. A kapcsolat görbülete nulladrendű differenciáloperátorként van definiálva $\nabla$

R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.

A modulon mindenki számára . $P$ $u,u'\in D(A)$

Ha egy vektorköteg, akkor egy az egyhez megfeleltetés van a lineáris kapcsolatok és a -modul szakaszainak kapcsolatai között . Ebben az esetben a bekapcsolt kapcsolat kovariáns differenciáljának felel meg $E\to X$ $\Gamma$ $E\to X$ $\nabla$ $C^{\infty }(X)$ $E\to X$ $\nabla$ $E\to X.$

Szupergeometria

A kommutatív gyűrűn való kapcsolódás fogalma a túlértékelt algebrák által közvetlenül átkerül a modulokra . [3] Ez a szupergeometria szuperösszeköttetéseinek esete osztályozott sokaságokon és szupervektorkötegeken . Szuperkapcsolatok mindig léteznek. $\mathbb Z_2$

Nem kommutatív geometria

Ha nem kommutatív gyűrű, akkor a bal és jobb -modulok kapcsolatai ugyanúgy vannak meghatározva, mint a kommutatív gyűrűn keresztüli modulokon. [4] Ilyen kapcsolatok azonban nem feltétlenül léteznek. $A$ $A$

Ellentétben a bal és jobb modulok csatlakozásaival, probléma merül fel a nem kommutatív gyűrűk és a bimodulok közötti kapcsolatok meghatározásakor . Az ilyen kapcsolatokra többféle definíció létezik. [5] Íme az egyik közülük. A -bimodulon lévő kapcsolat a bimodulok morfizmusa $RS$ $R$ $S$ $RS$ $P$

\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),

ami kielégíti a Leibniz-szabályt

\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S, \quad p\in P.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Koszul (1950)
↑ Koszul (1950), Mangiarotti (2000)
↑ Bartocci (1991), Mangiarotti (2000)
↑ Landi (1997)
↑ Dubois-Violette (1996), Landi (1997)

Irodalom

Koszul, J. , Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
Koszul, J. , Előadások a szálkötegekről és a differenciálgeometriáról (Tatai Egyetem, Bombay, 1960)
Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D. , The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Dubois-Violette, M., Michor, P. , Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
Landi, G. , Bevezetés a nem kommutatív terekbe és geometriáikba, Lect. Jegyzetek Fizika, Új sorozat m: Monográfiák, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint , iv+181 oldal.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Kapcsolatok a klasszikus és kvantumtérelméletben ( World Scientific , 2000) ISBN 981-02-2013-8
G. A. Sardanashvili , A térelmélet modern módszerei. 4. Geometria és kvantumterek (URSS, 2000) ISBN 5-88417-221-4 .

Linkek

Sardanashvily, G. , Előadások a modulok és gyűrűk differenciálgeometriájáról (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515 (nem elérhető link)