Mordell hipotézise

Mordell sejtése a nemzetség algebrai görbéjén lévő racionális pontok halmazának végességére vonatkozó sejtés , amelyet Louis Mordell terjesztett elő 1922-ben. A sejtést később a racionális számok mezőjéből egy tetszőleges számmezővé általánosították . Gerd Faltings bebizonyította 1983-ban, és ma már Faltings-tételnek is nevezik . $g>1$ $\mathbb {Q}$

Háttér

Legyen egy nem szinguláris algebrai görbe a mező felett . A görbe racionális pontjainak halmaza a következőképpen függ a nemétől : $C$ $\mathbb {Q}$ $C$ $g$

Eset : nincsenek racionális pontok, vagy végtelenül sok van belőlük; egy kúpos metszet . $g=0$ $C$
Eset : nincsenek racionális pontok, vagy ez egy elliptikus görbe , és racionális pontjai egy véges generált Abel-csoportot alkotnak . Ez Mordell tételéből következik , amelyet később Mordell-WeylEzenkívül a Mazur-féle torziós tétel korlátozza egy torziós részcsoport lehetséges szerkezetét. $g=1$ $C$
Eset : Mordell sejtése szerint csak véges számú racionális pontja lehet. $g>1$ $C$

Bizonyítás

1962-ben Shafarevich úgy sejtette, hogy az izomorfizmusig az algebrai görbék halmaza, amely adott nemzetséggel , definíciós mezővel és rossz redukciós pontokkal rendelkezik, véges . 1968-ban Parshin megmutatta, hogy Mordell sejtése hogyan redukálható Shafarevich végességre vonatkozó sejtéseire. $g>1$ $K$ $S$

1983-ban Faltings bebizonyította Shafarevich végességi sejtését a jól ismert módszerrel, amellyel a sejtést Tate-sejtés esetére és az algebrai geometria eszközeivel beleértve modellelméletét is

közelítéseken alapuló bizonyítást Vojta adott Később Faltings és Enrico Bombieri leegyszerűsítette .

Következmények

Faltings 1983-as írásában számos olyan állítást igazolt, amelyeket korábban hipotézisnek tekintettek:

Mordell sejtése, hogy egy számmező feletti 1-nél nagyobb nemzetség görbéjének csak véges számú racionális pontja van.
Shafarevich sejtése arról, hogy csak egy véges, egészen izomorfizmusig terjedő halmaz létezik adott méretű és polarizációs fokú Abel-változatok egy fix számmező felett, amelyek e mező adott véges ponthalmazán kívül mindenhol jó redukciót mutatnak.
Izogén-tétel izomorf Tate-modulokkal rendelkező Abeli-változatokra.

Faltings tételének legegyszerűbb alkalmazása Fermat utolsó tételének egy gyenge formája : bármely választott esetében csak véges számú másodprím megoldása van az egyenletnek , mivel ilyen n esetén a Fermat-görbe 1-nél nagyobb nemzetséggel rendelkezik. $n\geq 4$ $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ $x^{n}+y^{n}=1$

Általánosítások

A Mordell-Weyl tétel alapján a Faltings-tétel újrafogalmazható egy görbe és egy Abel-féle variáns végesen generált részcsoportjának metszéspontjára vonatkozó állításként . Egy tetszőleges alváltozatra és egy véges rangú tetszőleges alcsoportra cserélve Mordell-Leng sejtéshez vezető általánosítást kapunk , amely bebizonyosodott. $C$ $\Gamma$ $A$ $C$ $A$ $\Gamma$ $A$

Faltings tételének egy másik általánosítása a Bombierri-Leng sejtés , amely kimondja, hogy ha egy pszeudokanonikus változat (vagyis egy általános típus variánsa) egy véges mező felett , akkor a -racionális pontok halmaza sehol sem sűrű a Zariski topológiában . a . A hipotézis további általánosításait Vojta Pál terjesztette elő. $x$ $k$ $k$ $X(k)$ $x$

Mordell függvénymezőkre vonatkozó sejtését Manin 1963-ban és Grauert 1965-ben bizonyította. Coleman 1990-ben hiányosságot talált és javított Manin bizonyításában.

Irodalom

Mordell, LJ A harmadik és negyedik fokú határozatlan egyenletek racionális megoldásairól . Cambr. Phil. szoc. Proc. 21, 179-192 (1922).
Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell . Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), 3. sz. 1, 1-13.
A. Yu. Weintrob, A. B. Sosinsky. "A Mordell-sejtés bizonyítéka" . - Kvant , 1984. - 3. sz .
Ian Stewart . A legnagyobb matematikai feladatok. — M. : Alpina non-fiction, 2016. — 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Linkek

Bombieri, Enrico. A Mordell-sejtés újragondolva // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.. - 1990. - V. 17 , 4. sz . - S. 615-640 .
Coleman, Robert F. Manin bizonyítéka a Mordell-sejtésre függvénymezők felett // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe sorozat: folyóirat. - 1990. - 1. évf. 36 , sz. 3 . - P. 393-427 . — ISSN 0013-8584 . Archiválva az eredetiből 2011. október 2-án. . - " Sablon: Inkonzisztens idézetek ". Archiválva : 2011. október 2. a Wayback Machine -nél
Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Aritmetikai geometria. - New York: Springer, 1986. - ISBN 0-387-96311-1 . > Faltings (1983) angol fordítását tartalmazza
Faltings, Gerd. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern (német) // Inventiones Mathematicae : magazin. - 1983. - Bd. 73 , sz. 3 . - S. 349-366 . - doi : 10.1007/BF01388432 .
Grauert, Hans. Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper (német) // Publications Mathematiques de l'IHES : magazin. - 1965. - Nr. 25 . - S. 131-149 . — ISSN 1618-1913 . . - " Sablon: Inkonzisztens idézetek ".
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometria. - Springer-Verlag , 2000. - Vol. 201. - ( Diplomás szövegek matematikából ). — ISBN 0-387-98981-1 . > Vojta bizonyítását adja Falting tételére.
S. Lang . A diofantini geometria felmérése . - Springer-Verlag , 1997. - S. 101 -122. — ISBN 3-540-61223-8 .
Manin, Ju. I. Rational points on algebraic curves over function fields (angol) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya: folyóirat. - 1963. - 1. évf. 27 . - P. 1395-1440 . — ISSN 0373-2436 . . - " Sablon: Inkonzisztens idézetek ".
Mordell, Louis J.A harmadik és negyedik fokú határozatlan egyenlet racionális megoldásairól // Proc . Cambridge Philos. szoc. : folyóirat. - 1922. - 1. évf. 21 . - P. 179-192 . . - "".
Parsin, AN Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nizza, 1970), 1. kötet. - Gauthier-Villars, 1971. - P. 467-471.
Parshin, AN (2001), M/m064910 , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4