Hilbert tér

A Hilbert-tér az euklideszi tér általánosítása , amely végtelen dimenziót enged meg, és teljes a skaláris szorzat által generált metrika szempontjából . David Hilbertről nevezték el .

A Hilbert-tér legfontosabb vizsgálati tárgyai a lineáris operátorok [1] . Maga a Hilbert-tér fogalma Hilbert és Schmidt integrálegyenletek elméletével foglalkozó munkájában alakult ki , absztrakt definíciót pedig von Neumann , Rees és Stone a Hermitiánus operátorok elméletéről írt munkáiban .

Definíció

A Hilbert-tér egy lineáris (vektor) tér ( valós vagy komplex számok mezeje felett ), amelyben [2] :

van egy szabály, amely lehetővé teszi a tér bármely két elemére és azok skaláris szorzatának meghatározását ; $x$ $y$ $(x,y)$
ez a szabály megfelel a következő követelményeknek:
- ${\megjelenítési stílus (y,x)=(x,y)}$ (elmozdulás törvénye egy valós Hilbert-térben) vagy (elmozdulás törvénye összetett Hilbert-térben, az oszlop az összetett ragozás jelét jelenti) [3] ; $(y,x)={\overline {(x,y)))$
- ${\megjelenítési stílus (x,y+z)=(x,y)+(x,z)}$ (elosztási törvény);
- $(\lambda x,y)=\lambda (x,y)$ bármely valós számra ; $\lambda$
- $(x,x)>0$ at és at . $x \ne 0$ $(x,x)=0$ $x=0$
amely teljes a skalárszorzat által generált metrikához képest . Ha a tér teljességének feltétele nem teljesül, akkor Hilbert előtti térről beszélünk . Az ismert (használt) helyek többsége azonban vagy teljes, vagy pótolható. $d(x,y)=\|xy\|={\sqrt {(xy,xy)))$

Így a Hilbert-tér egy Banach-tér (teljes normált tér), amelynek normáját egy pozitív határozott skaláris szorzat generálja, és a következőképpen definiálható. $\|x\|={\sqrt {(x,x)))$

Egy normát egy tetszőleges normált térben akkor és csak akkor generálhat valamilyen belső szorzat, ha teljesül a következő paralelogramma egyenlőség (identitás) :

(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\ |^{2}).

Ha a paralelogramma azonosságát kielégítő Banach-tér valós, akkor a normájának megfelelő skaláris szorzatot az egyenlőség adja

(x,y)=\left\|{\dfrac {x+y}{2}}\right\|^{2}-\left\|{\dfrac {xy}{2}}\right\|^ {2}.

Ha ez a tér összetett, akkor a normájának megfelelő skaláris szorzatot az egyenlőség adja

(x,y)=\left\|{\dfrac {x+y}{2}}\right\|^{2}-\left\|{\dfrac {xy}{2}}\right\|^ {2}+i\left\|{\dfrac {x+iy}{2}}\right\|^{2}-i\left\|{\dfrac {x-iy}{2}}\right\ |^{2}

(polarizációs azonosság).

Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség. Ortogonalitás

A Hilbert-térben a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség fontos :

|(x,y)|\leqslant \|x\|\|y\|

Ez az egyenlőtlenség egy valós Hilbert-tér esetén lehetővé teszi két x és y elem közötti szög meghatározását a következő képlettel $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(x,y)}{\|x\|\|y\|}}

Különösen, ha a pontszorzat egyenlő nullával , és maguk az elemek nem nullák, akkor ezen elemek közötti szög egyenlő , ami megfelel az x és y elemek ortogonalitásának. Az ortogonalitás fogalmát egy komplex Hilbert-térben is bevezetjük a reláció segítségével . A szimbólum az elemek ortogonalitását jelzi . Két részhalmaz és egy Hilbert-tér ortogonális , ha bármely két elem merőleges . $(x,y)=0$ $90^{\circ }$ $(x,y)=0$ $\perp$ $M$ $N$ $(M\perp N)$ $f\in M$ $g\in N$

Páronkénti ortogonális vektorokra a Pitagorasz-tétel (általánosítva) érvényes:

{\displaystyle \left\|\sum _{i}x_{i}\right\|^{2}=\sum _{i}\|x_{i}\|^{2))

Az összes részhalmazra merőleges térelem halmaza egy zárt lineáris sokaság (altér), és e halmaz ortogonális komplementerének nevezzük . $A$

Az elemek egy részhalmazát ortonormális rendszernek nevezzük, ha a halmaz bármely két eleme merőleges, és mindegyik elem normája egy.

Hilbert-tér alapjai és méretei

Egy Hilbert-tér vektorrendszere akkor teljes , ha a teljes teret generálja, vagyis ha a tér egy tetszőleges eleme tetszőlegesen pontosan közelíthető a normában e rendszer elemeinek lineáris kombinációival. Ha egy térben van egy megszámlálható teljes elemrendszer, akkor a tér szétválasztható – vagyis mindenhol van egy megszámlálható sűrű halmaz, amelynek a térmetrikus záródása egybeesik a teljes térrel.

Ez a teljes rendszer alapja annak, hogy a tér minden eleme e rendszer elemeinek lineáris kombinációjaként, egyedileg ábrázolható. Megjegyzendő, hogy a Banach-terek általános esetében a rendszer elemeinek teljességéből és lineáris függetlenségéből nem következik, hogy ez alap lenne. A szeparálható Hilbert-terek esetében azonban a teljes ortonormális rendszer az alap. Ahhoz, hogy egy ortonormális rendszer teljes legyen egy szeparálható Hilbert-térben, szükséges és elégséges, hogy ne legyen az ortonormális rendszer összes elemére merőleges nullától eltérő elem. Így a tér minden elemére van egy ortonormális tágulás : $\{e_{i}\}$ $\{e_{i}\}$ $f$ $\{e_{i}\}$

f=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}e_{i}=\sum _{i=1}^{\infty }(f,e_{i})e_{i }

A tágulási együtthatókat Fourier-együtthatóknak nevezzük. Ugyanakkor az elem normájára Parseval egyenlősége teljesül : $\alpha _{i}=(f,e_{i})$

{\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }|(f,e_{i})|^{2))

A Hilbert-térben lévő összes ortonormális bázisnak azonos a kardinalitása, ami lehetővé teszi, hogy egy Hilbert-tér dimenzióját egy tetszőleges ortonormális bázis (ortogonális dimenzió) dimenziójaként határozzuk meg. Egy Hilbert-tér akkor és csak akkor szeparálható, ha megszámlálható dimenziója van.

Egy tér dimenziója úgy is meghatározható, mint egy Hilbert-tér azon részhalmazainak legkisebb kardinalitása, amelynél a lineáris fesztáv zárása egybeesik -vel . $H$ $H$

Bármely két azonos dimenziójú Hilbert-tér izomorf . Konkrétan bármely két végtelen dimenziós szeparálható Hilbert-tér izomorf egymással és a négyzetesen összegezhető sorozatok terével . $\ell ^{2}$

Vannak nem szeparálható Hilbert-terek - olyan terek, amelyekben nincs megszámlálási alap [4] . Különösen érdekes egy nem elválasztható tér , speciális mértékkel [5] . $L^{2}$

Ortogonális kiterjesztések

Legyen valami altér a Hilbert térben . Ekkor bármely elemre az egyetlen felbontás igaz , ahol , és . Az elemet az elem rávetítésének nevezzük . Az altérre merőleges elemek halmaza (zárt) alteret alkot, amely az altér ortogonális komplementere . $L$ $H$ $f\in H$ $f=g+h$ $g\in L$ $h\perp L$ $g$ $f$ $L$ $h$ $L$ $M$ $L$

Azt mondják, hogy a tér az és alterek közvetlen összegére bontható , amely így van írva . Hasonlóan is lehet írni . $H$ $L$ $M$ $H = L\oplus M$ $L = H\ominus M$

A lineáris funkcionálok tere

A lineáris folytonos (korlátos) funkcionálisok tere szintén lineáris teret képez, és duális térnek nevezzük.

A következő Rees-tétel a korlátos lineáris függvény általános alakjáról Hilbert-térben érvényesül: a Hilbert-tér bármely lineáris korlátos függvényére létezik olyan egyedi vektor , amely bármely . Ebben az esetben a lineáris függvény normája egybeesik a vektor normájával : $f$ $H$ $y\in H$ $f(x)=(x,y)$ $x\in H$ $f$ $y$

\|f\|=\sup _{\|x\|=1}|f(x)|={\sqrt {(y,y)))

A tételből következik, hogy a Hilbert-tér feletti lineáris korlátos funkcionálisok tere magával a térrel izomorf . $H$ $H$

Lineáris operátorok Hilbert-terekben

Egy lineáris operátor adott bázison mátrixelemekkel egyedi módon ábrázolható: . $A$ $a_{ij}=(Ae_{i},e_{j})$

A lineáris operátort adjunktnak nevezzük az operátorral , ha bármely elemre , és az egyenlőség teljesül . Az adjungált operátor normája megegyezik magának az operátornak a normájával. $A^{*}$ $A$ $x$ $y$ $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$

Egy lineáris korlátos operátort önadjungáltnak ( szimmetrikus ) nevezünk, ha . $A^{*}=A$

A teljes térre definiált operátort , amely az egyes elemeket valamilyen altérre vonatkozó vetületéhez rendeli, vetítési operátornak (projekciós operátornak) nevezzük. A projektor olyan kezelő, hogy . Ha emellett a projektor önadjungált operátor, akkor az is ortogonális kivetítő. Két kivetítő operátor szorzata akkor és csak akkor vetít, ha permutálható: . $P$ $P^{2}=P$ $P$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}$

Tulajdonságok

Rees reprezentációs tétele : bármely ortonormális vektorrendszerreegy Hilbert-térbenés egy olyan számsorozatra, amelyben,létezik olyan elem, hogyés. ${\lbrace \phi _{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty }$ $H$ ${\lbrace C_{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty }$ $\sum _{i=1}^{\infty }C_{i}^{2}<\infty$ $H$ $u$ $C_{i}=\left(u,\phi _{i}\jobb)$ ${\left\Vert u\right\Vert }^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }{\left(u,\phi _{i}\right)}^{2}$
A Hilbert -terek erősen normált tereket generálnak .

Példák

Az alapvető példa az euklideszi tér .

A négyzetesen összeadható sorozatok tere : pontjai valós számok végtelen sorozatai, amelyekre a sorozat konvergál , a rajta lévő skaláris szorzatot az egyenlőség adja: $\ell ^{2}$ $x=\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ $\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}$

(x,y)=\összeg _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n}

A $L^{2}[a,b]$ mérhető függvények tere valós értékekkel egy intervallumon Lebesgue integrálható négyzetekkel – vagyis úgy, hogy az integrál $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}\!|f|^{2}\,dx

definiálva van, és véges, ráadásul a nulla mértékhalmazon egymástól eltérő függvényeket azonosítjuk egymással (azaz formálisan létezik egy megfelelő ekvivalenciaosztály-halmaz). Ezen a téren a skaláris szorzatot az egyenlőség adja: $L^{2}[a,b]$

(f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{g}\,dx

Szóközök és komplex számok, komplex számsorozatok és komplex értékű függvények területén a skaláris szorzat meghatározása csak a második tényező komplex konjugáltságában tér el: $\ell ^{2}$ $L^{2}[a,b]$

(x,y)=\összeg _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y}}_{n}

;

(f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{\overline {g}}\,dx

Jegyzetek

↑ Hilbert tér // Matematikai enciklopédikus szótár / fejezetek. szerk. Prokhorov Yu. V. - M., Szovjet Enciklopédia , 1988. - p. 152-153
↑ Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M.: Fizmatlit, 1961. — C. 181
↑ Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 253
↑ Konstantinov R. V. Előadások a funkcionális elemzésről. — M.: MFTI, 2009. — 129. o
↑ Reid, M., Simon, B. A modern matematikai fizika módszerei. 1. kötet. Funkcionális elemzés. - M .: Mir, 1977. - C. 82

Irodalom

Halmosh P. , Hilbert tér problémákban / Per. angolról. I. D. Novikov és T. V. Szokolovskaja; szerk. R. A. Minlos. — M.: Mir, 1970. — 352 p.
Moren K. Hilbert térmódszerek. — M.: Mir, 1965. — 570 p.

David Hilbert hozzájárulása a tudományhoz
terek	Hilbert tér Hilbert előtti tér Gilbert tégla
axiomatika	Hilbert axiomatikus
Tételek	Hilbert tétel 90 Hilbert alaptétele Hilbert nulltétele Hilbert-Schmidt tétel
Üzemeltetők	Hilbert átalakul Hilbert-Schmidt operátor
Általános relativitáselmélet	Einstein-Hilbert egyenletek " Hilbert és a gravitációs téregyenletek "
Egyéb	Hilbert problémák Hilbert-görbe Hilbert mátrix Hilbert-Arnold probléma Hilbert sorozat és Hilbert polinom Paradox "Grand Hotel"

A latin H betű származékai , h
Levelek	Ĥĥ H̭h̭ Ħħ Ƕƕ Ȟȟ Ḣḣ Ḥḥ Ḧḧ Ḩḩ Ḫḫ H̱ẖ Ⱨⱨ Ɥɥ ɥ̊ Ɦɦ ɧ Ꜧꜧ ʜ ʮ ʯ Ⱶⱶ Ꟶꟶ ꞕ Óóó H̄h̄ H̓h̓ H̔h̔ ᵺ H̐h̐ H̤h̤ H̦h̦
Szimbólumok	ℍ ℋ ℌ ℎ ℏ Ⓗⓗ ⒣