Galois geometria

A Galois-geometria (nevét a 19. századi francia matematikusról , Évariste Galoisról kapta) a véges geometriának egy olyan ága , amely véges mezők (vagy Galois-mezők ) feletti algebrai és analitikus geometriát vesz figyelembe [1] . Szűkebb értelemben a Galois-geometria egy véges mező feletti projektív térként definiálható [2] .

Bevezetés

A vizsgálat tárgyai vektorterek , véges mezők feletti affin és projektív terek, valamint az ezekben lévő különféle struktúrák. Különösen az ívek , oválisok , hiperoválisok , unitálok , blokkoló halmazok , oválisok , elosztók és a végtelen geometriákban található szerkezetek egyéb véges analógjai.

George Conwell 1910-ben demonstrálta a Galois-geometriát, amikor a Kirkman Schoolgirl-probléma megoldását a PG(3,2) ferde vonalak halmazának partíciójaként írta le , egy háromdimenziós projektív geometria a GF(2) [3] . Hasonlóan a 0 karakterisztikus mező feletti térbeli vonalak geometriájának módszereihez , Conwell a Plücker-koordinátákat használta a PG(5,2)-ben, és azonosította a PG(3,2) vonalakat reprezentáló pontokat a Klein-négyzeten fekvő pontokkal .

1955-ben Beniamino Segre leírta a páratlan q oválisokat . Segre tétele kimondja, hogy a páratlan rendű Galois-geometriában (páratlan karakterisztikával rendelkező véges mező felett meghatározott projektív sík ) minden ovális kúpszelet . Az 1958-as Nemzetközi Matematikus Kongresszuson Segre áttekintést adott a Galois-geometria akkoriban elérhető eredményeiről [4] .

véges projektív sík sorrendjének nevezzük, így minden pont (egy egyenes) és a pontok száma megegyezik a vonalak számával. Például ha a projektív sík egy háromszög. A Galois-síkok véges projektív síkok, amelyekre a Desargues-tétel érvényes. Egy véges projektív síkhoz több koherens konfiguráció van meghatározva. Az ezeket tartalmazó sémát azon a halmazon definiáljuk, ahol a véges projektív sík elemeinek (pontok és egyenesek) halmaza , és a desarguesianitás esetén kibővítjük a csoport [5] -en végzett komponensenkénti hatásának megfelelő sémára .

Lásd még

• Projektív geometria
• Az előfordulás geometriája
• Galois levelezés

Jegyzetek

1. ↑ Galois geometria archiválva : 2011. augusztus 10. a Wayback Machine -ben a Mathematics Encyclopedia-ban
2. ↑ "Projektív terek véges mezők felett, más néven Galois geometriák, ..." ( Hirschfeld, Thas 1992 )
3. ↑ Conwell, 1910 , p. 60–76.
4. ↑ Segre, 1958 .
5. ↑ S.A. Evdokimov, I.N. Ponomarenko, A véges projektív sík összefüggésrendszerei és kiterjesztéseik, Algebra i Analiz, 2009, 21. kötet, 1. szám, 90-132.

Irodalom

• Beniamino Segre. A Galois Geometriesről . — International Mathematical Union , 1958. Archiválva : 2015. március 30. a Wayback Machine -nél
• George M. Conwell. A 3 szóközű PG(3,2) és csoportjai. — A matematika évkönyvei . - 1910. - T. 11. - S. 60–76. - doi : 10.2307/1967582 .
• JWP Hirschfeld. Projektív geometriák véges mezők felett . - Oxford University Press , 1979. - ISBN 978-0-19-850295-1 .
• JWP Hirschfeld. Háromdimenziós véges projektív terek . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 0-19-853536-8 .
• J. W. P. Hirschfeld, J. A. Thas. Galois Geometries tábornok. - Oxford University Press , 1992. - ISBN 978-0-19-853537-9 .
• Jan De Beule, Leo Storme. Aktuális kutatási témák a Galois geometriában . - Nova Science Publishers, 2011. - ISBN 978-1-61209-523-3 . Archiválva : 2016. január 29. a Wayback Machine -nél