Az előfordulás geometriája

A beesési geometria  a klasszikus geometria egy része, amely a beesési struktúrákat vizsgálja , például azt, hogy egy pont egy egyeneshez tartozik-e .

A geometriában az olyan objektumok, mint az euklideszi sík , összetett objektumok, amelyek a hossz, a szög, a folytonosság, a reláció közötti fekvés és az incidencia fogalmát használják .

Az előfordulási struktúra  az, ami megmarad, ha minden fogalmat elvetünk, kivéve, ha tudjuk, hogy a vizsgált objektumok (például pontok) közül melyik található más objektumban (például körökben vagy vonalakban). Még ilyen megszorítások mellett is be lehet bizonyítani néhány tételt, és érdekes tényeket szerezni egy ilyen szerkezetről. Az ilyen alapvető eredmények igazak maradnak, ha más fogalmakat is hozzáadunk a gazdagabb geometria eléréséhez. Néha a szerzők elmossák a különbséget a vizsgálat folyamata és a vizsgálat tárgya között, így nem meglepő, hogy egyes szerzők az incidencia geometria elnevezést használják az eseménystruktúrákra [1] .

Az incidens szerkezetek természetesen keletkeznek, és a matematika különböző ágaiban tanulmányozták őket. Ennek megfelelően más terminológia létezik az ilyen objektumok leírására. A gráfelméletben hipergráfoknak , a kombinatorikus áramkörelméletben pedig blokkdiagramoknak nevezik . A terminológiai különbségek mellett az egyes területeken más megközelítést alkalmaznak a tárgy vizsgálatához, és a tárgyakkal kapcsolatos kérdéseket a tudományágnak megfelelően teszik fel. Ha a geometria nyelvét használjuk, mint az események geometriájánál, akkor ábrákról beszélünk. Lehetséges azonban az egyik tudományág terminológiájából származó eredményeket lefordítani egy másik tudományág nyelvére, de ez gyakran ügyetlen és zavaros kijelentésekhez vezet, amelyek nem tűnnek természetesnek a tudományág számára. A cikkben szereplő példákban csak geometriai tartalmú példákat használunk.

Egy nagyon érdekes speciális eset az euklideszi sík véges ponthalmazával foglalkozik , és ebben az esetben az általuk meghatározott vonalak számáról és típusáról beszélünk. Ennek az esetnek néhány eredménye kiterjeszthető általánosabb esetekre is, mivel itt csak az előfordulási tulajdonságokat vesszük figyelembe.

Előfordulási struktúrák

Az incidenciastruktúra ( P , L , I) egy P halmazból áll , melynek elemeit pontoknak nevezzük , egy L halmazból, melynek elemeit vonalaknak nevezzük , és egy köztük lévő I incidenciarelációból , azaz egy P × L részhalmazból az elemeket zászlóknak [2] nevezzük . Ha ( A , l ) egy zászló, akkor azt mondjuk, hogy A incidens l -el , vagy hogy l esik A -val (a reláció szimmetrikus), és A I l -t írunk . Intuitív módon világos, hogy egy pont és egy egyenes akkor és csak akkor van ebben a relációban, ha a pont az egyenesen fekszik . Adott egy B pont és egy m egyenes , amelyek nem alkotnak zászlót, akkor a pont nem fekszik az egyenesen, és a ( B , m ) párt antiflagnek nevezzük .

Távolság az előfordulási mintában

Az előfordulási struktúrában nincs természetes távolságfogalom ( metrika ). Azonban van egy kombinatorikus metrika a megfelelő előfordulási gráfokban (Levy-gráfok) , nevezetesen a két csúcs közötti legrövidebb út hossza ebben a kétrészes gráfban . A beesési struktúra két objektuma – két pont, két egyenes, vagy egy pont és egy egyenes – közötti távolság a beesési struktúra beesési grafikonján két megfelelő csúcs közötti távolságként határozható meg.

A távolság meghatározásának másik módja ismét a gráfelmélet fogalmait használja, ezúttal a beesési struktúra kollinearitási gráfját . A kollinearitási gráf csúcsai a beesési struktúra pontjai, és két csúcsot egy él köt össze, ha mindkét pontra beeső egyenes van. A beesési struktúra két pontja közötti távolság ezután a köztük lévő távolságként definiálható a kollinearitási grafikonon.

Ha a távolságot egy beesési struktúra összefüggésében említik, meg kell adni a távolság meghatározásának módját.

Részben lineáris terek

A legtöbbet vizsgált előfordulási struktúrák olyan struktúrák, amelyek kielégítenek néhány további tulajdonságot (axiómát), például projektív síkok , affin síkok , általánosított sokszögek , részgeometriák és majdnem sokszögek . Nagyon általános előfordulási struktúrák érhetők el "puha" feltételek megadásával, mint például:

A részben lineáris tér egy előfordulási struktúra, amelyre a következő axiómák érvényesek [3] :

Egy részlegesen lineáris térben az is igaz, hogy bármely különálló egyenespár legfeljebb egy pontban metszi egymást. Ez az állítás nem szerepel az axiómák között, mivel az első axiómából könnyen bebizonyítható.

További korlátozásokat adnak a szabályossági feltételek:

RLk : Minden vonal ugyanannyi pontra esik. Ha ez a szám véges, gyakran k -ként jelölik .

RPr : Minden pont ugyanannyi vonalra esik. Ha ez a szám véges, gyakran r -ként jelölik .

A részlegesen lineáris tér második axiómájából következik, hogy k > 1 . Egyik szabályossági feltétel sem következik a másikból, ezért fel kell tételeznünk, hogy r > 1 .

Egy véges, részben lineáris teret, amely mindkét szabályossági feltételt kielégíti k , r > 1 mellett , taktikai konfigurációnak nevezzük [4] . Egyes szerzők az ilyen konfigurációkat egyszerűen konfigurációknak [5] vagy projektív konfigurációknak [6] nevezik . Ha a taktikai konfigurációnak n pontja és m vonala van, akkor a zászlók kétszeri megszámolása után az nr = mk összefüggést kapjuk . Általában az ( n r , m k ) - konfigurációt használják . Abban a speciális esetben, amikor n = m (és ezért r = k ), az ( n k , n k ) jelölés helyett gyakran egyszerűen ( n k ) írunk .

A lineáris tér olyan részben lineáris tér, amelyben [3] :

Egyes szerzők hozzáadják a "nem-degeneráltság" (vagy "nem trivialitás") axiómáját a (részleges) lineáris tér meghatározásához, például:

A nem-degeneráció axiómája lehetővé teszi számunkra, hogy kizárjunk néhány nagyon apró példát (főleg azokat, amelyekben a P vagy L halmazok kevesebb, mint két elemből állnak), amelyek kivételek lehetnek az előfordulási struktúrákra vonatkozó általános állítások alól. Egy másik megközelítés az, hogy az előfordulási struktúrákat, amelyek nem felelnek meg a nem-degeneráció axiómának, tekintjük triviálisnak , de azokat, amelyek teljesítik, nem triviálisnak .

Minden nem triviális lineáris tér legalább három pontot és három egyenest tartalmaz, így a legegyszerűbb nem triviális lineáris tér egy háromszög.

A Sylvester–Gallay konfiguráció egy olyan lineáris tér, amelynek minden vonalán legalább három pont van .

Alapvető geometriai példák

Az alapfogalmak és terminológia egy része geometriai példákból fakad, különösen projektív síkokból és affin síkokból .

Projektív síkok

A projektív sík egy lineáris tér, amelyben:

Projektív síkon bijekció van P és L között . Ha P véges halmaz, akkor a projektív síkot véges projektív síknak mondjuk. A véges projektív sík sorrendje n = k – 1 , azaz eggyel kevesebb, mint az egyenes pontjainak száma. Minden ismert projektív síknak van olyan rendje, amely egy prímszám hatványa . Az n rendű projektív sík a konfiguráció (( n 2 + n + 1) n + 1 ) .

A legkisebb projektív sík második rendű, és Fano síkként ismert .

Fano Plane

Ezt a híres beesési geometriát Gino Fano olasz matematikus fejlesztette ki . Az általa kidolgozott, a projektív n - tér axiómahalmazának függetlenségének bizonyítására vonatkozó munkájában [8] [9] 15 pontból, 35 egyenesből és 15 síkból álló véges háromdimenziós teret hozott létre. amelyek mindegyike csak három pontot tartalmaz [10] . A térben lévő síkok hét pontból és hét egyenesből állnak, amelyeket Fano-síkokként ismerünk .

A Fano-síkot nem lehet az euklideszi síkon ábrázolni csak pontok és vonalszakaszok felhasználásával (azaz nem megvalósítható). Ez Sylvester tételéből következik .

Egy teljes négyszög négy pontból áll, amelyek közül három nincs egy vonalban. A Fano-síkban három olyan pont, amely nem tartozik egy teljes négyszöghez, a négyszög átlós pontja, és kollineáris. Ez ellentmond az euklideszi sík axiomatizálásánál gyakran használt Fano-axiómának , amely szerint a teljes négyszög három átlós pontja soha nem ütközik egymásba.

Affin síkok

Az affin sík olyan lineáris tér, amely kielégíti:

  • Bármely A pontra és egy pontra nem eső l egyenesre ( antiflag ) pontosan egy m egyenes esik A -ba (azaz A I m ), amely nem metszi l -t ( Playfair axióma )
  • A nem-degenerációs feltétel teljesül – létezik egy háromszög, azaz. három nem kollineáris pont.

A Playfair-féle axióma állításában szereplő l és m egyenesek párhuzamosak . Bármely affin sík egyedi módon kiterjeszthető projektív síkra. Egy véges affin sík sorrendje k ​​, az egyenes pontjainak száma. Egy n rendű affin sík a konfiguráció (( n 2 ) n + 1 , ( n 2 + n ) n ) .

Hesse konfiguráció

A harmadik rendű affin sík a konfiguráció (9 4 , 12 3 ) . Ha egy konfiguráció be van ágyazva valamilyen zárt térbe, azt Hesse-konfigurációnak nevezik . A konfiguráció nem valósítható meg az euklideszi síkon, de az összetett projektív síkon megvalósítható egy elliptikus görbe kilenc inflexiós pontjaként, amelyen 12 egyenes esik ezen inflexiós pontok hármasaira.

A 12 vonal négy osztályba osztható, amelyeken belül a vonalak páronként diszjunktak. Ezeket az osztályokat vonalak párhuzamossági osztályainak nevezzük . Ha hozzáadunk további négy új pontot, minden párhuzamos osztályhoz egy pontot, és feltételezzük, hogy a párhuzamos osztály minden egyenese ebben az új pontban metszi egymást (tehát most már minden egyenes metszi), és hozzáadunk még egy egyenest, amely mind a négy új pontot tartalmazza, akkor kapjunk egy harmadik rendű projektív síkot, a konfigurációt (13 4 ) . Ellenkező irányban egy hármas rendű projektív síkból kiindulva (egy ilyen sík egyedi) és bármely (egy) egyenest és az összes rajta fekvő pontot törölve kapunk egy harmadik rendű affin síkot (ez is egyedi).

Eltávolítunk egy pontot és a rajta áthaladó négy vonalat (de ezen az egyenesen más pontokat nem), a (8 3 ) Möbius - Cantor konfigurációt kapjuk .

Részleges geometriák

Adott egy α ≥ 1 egész szám , az axiómát kielégítő taktikai konfiguráció a következő:

  • Bármely antiflag ( B , m ) esetén van α zászló ( A , l ) úgy , hogy B I l és A I m ,

parciális geometriának nevezzük . Ha egy egyenesen s + 1 pont van, és a ponton t + 1 egyenes megy át, akkor ennek a részgeometriának a szimbóluma a pg( s , t , α ) .

Ha α = 1 , ezek a parciális geometriák általánosított négyszögek .

Ha α = s + 1 , akkor a konfigurációkat Steiner-rendszereknek nevezzük .

Általánosított sokszögek

n > 2 [11] esetén egy általánosított n - gon egy részlegesen lineáris tér, amelynek Γ beesési gráfja a következő tulajdonsággal rendelkezik:

  • A Γ gráf kerülete (a legrövidebb ciklus hossza ) kétszerese a Γ gráf átmérőjének (a legnagyobb távolság két csúcs között, esetünkben n ).

Az általánosított 2-szög egy olyan beesési struktúra, amely nem egy részben lineáris tér, és legalább két pontból és két egyenesből áll, amelyekben minden pont minden egyenesre esik. Az általánosított 2-szög beesési gráfja egy teljes kétrészes gráf.

Egy általánosított n - szög nem tartalmaz egyszerű m - gonokat 2 ≤ m < n esetén, és minden objektumpárhoz (két ponthoz, két egyeneshez vagy egy ponthoz egy egyenes) van egy közönséges n - szög, amely mindkét objektumot tartalmazza . .

Az általánosított 3-szögűek projektív síkok. Az általánosított 4-szögeket általánosított négyszögeknek nevezzük . A Feit-Higman tétel szerint csak véges sok olyan általánosított n -szög van, amelyeknek minden egyenesen legalább három pontja van, és mindegyik egyenesen három egyenes van, és az n szám 2, 3, 4, 6 vagy 8.

Majdnem sokszögek

Nem negatív d egész számok esetén a majdnem 2 d - gon egy olyan előfordulási struktúra, amelyre:

  • A maximális távolság (a kollinearitási grafikonon mérve) két pont között d
  • Bármely X ponthoz és l egyeneshez van egy egyedi pont az l - en , amely a legközelebb van X -hez.

A majdnem 0-szög egy pont, a majdnem 2-szög pedig egy vonal. Egy majdnem 2-szögű kollineáris gráf egy teljes gráf . A majdnem 4-szög egy általánosított négyszög (esetleg degenerált). Minden véges általánosított sokszög, a projektív síkok kivételével, szűk sokszög. Bármely összekapcsolt kétrészes gráf egy közeli sokszög, és minden olyan közeli sokszög, amelynek minden vonalán pontosan két pont található, összekapcsolt kétrészes gráf. Ezenkívül minden kettős poláris tér majdnem sokszög.

Sok szinte sokszög véges egyszerű csoportokhoz kapcsolódik, mint például a Mathieu-csoportok és a Janko-csoport J2 . Ráadásul a Lie-típusú csoportokhoz kapcsolódó általánosított 2d - szögek csaknem 2d-szögek speciális esetei .

Möbius repülőgépek

Az absztrakt Möbius-sík (vagy inverz sík) egy olyan beesési struktúra, amelyben, hogy elkerüljük a klasszikus eset terminológiájával való összetéveszthetőséget, a vonalakat ciklusoknak vagy blokkoknak nevezzük .

Pontosabban: a Möbius-sík pontok és ciklusok beesési struktúrája, így:

  • A különböző pontok bármely hármasa pontosan egy ciklusra esik.
  • Bármely zászlóhoz ( P , z ) és bármely t Q ponthoz, amely nem esik z -re , létezik egy egyedi z ∗ ciklus P I z ∗ , Q I z ∗ és z ∩ z ∗ = { P } értékkel. (Azt mondják, hogy a ciklusok érintik a P -t. )
  • Minden ciklusnak legalább három pontja van, és van legalább egy ciklus.

Az a beesési struktúra, amelyet a Möbius-sík bármely P pontjából kapunk úgy, hogy a P -n kívül minden pontot választunk pontnak , és csak azokat a ciklusokat választjuk közvetlen választásnak, amelyek P -t tartalmaznak (a P eltávolítva ), affin sík. Ezt a szerkezetet az áramkörelméletben P maradéknak nevezik .

Az m - rendű véges Möbius-sík egy taktikai konfiguráció , amelyben minden ciklusban k = m + 1 pont, amely egy 3-tervű , 3-( m 2 + 1, m + 1, 1) folyamatábra .

Előfordulási tételek az euklideszi síkon

Sylvester tétele

A kérdés, amelyet D.D. Sylvester 1893-ban, és végül Gallai Tibor is bebizonyította , az euklideszi sík véges számú pontjának előfordulására vonatkozik.

Tétel (Sylvester - Gallai) : Az euklideszi síkon egy véges ponthalmaz pontjai vagy kollineárisak , vagy pontosan két pontra esik egy egyenes.

A pontosan két pontot tartalmazó egyenest ebben az összefüggésben közönséges egyenesnek nevezzük . Sylvester akkor jutott erre a kérdésre, amikor a Hesse-konfiguráció beágyazhatóságát fontolgatta.

De Bruijn-Erdős tétel

Hasonló eredmény a de Bruijn-Erdős tétel . Nicholas de Bruijn és Pal Erdős a projektív síkon általánosabb feltételek mellett bizonyította az eredményt, de az eredmény az euklideszi síkon érvényes marad. A tétel ezt mondja: [12]

A projektív síkon bármely n nem kollineáris pontból álló halmaz legalább n különálló vonalat határoz meg.

Ahogy a szerzők rámutattak, mivel bizonyításuk kombinatorikus volt, az eredmény erősebb feltételek mellett, tulajdonképpen bármilyen beesési geometriában érvényes. Azt is megemlítették, hogy az euklideszi síkváltozat a Sylvester–Gallay-tételből indukcióval igazolható .

A Szemedi–Trotter tétel

A pontok és egyenesek véges halmazával meghatározott zászlók számának határát a következő tétel adja meg:

Tétel (Semeredy-Trotter) : Adott n pont és m egyenes egy síkban, a zászlók (pont-vonal beesési párok) száma:

És ezen a határon nem lehet javítani.

Ez az eredmény felhasználható a Beck-tétel bizonyítására.

Beck-tétel

Beck tétele kimondja, hogy egy síkon lévő véges ponthalmazok két szélsőséges esetre esnek – egyes halmazokban az összes pont ugyanazon az egyenesen fekszik, míg másokban nagy számú egyenesre van szükség az összes pont összekapcsolásához.

A tétel kimondja, hogy vannak olyan pozitív C , K állandók , amelyekre a sík n pontja esetén az alábbiak közül legalább az egyik igaz:

  1. Van egy egyenes, amely legalább n / C pontot tartalmaz.
  2. Legalább n 2 / K vonal van, amelyek mindegyike legalább két pontot tartalmaz.

Beck eredeti bizonyításaiban C 100, K pedig definiálatlan állandó. C és K optimális értéke ismeretlen.

További példák

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Így tesz például L. Storme is a könyv véges geometriáról szóló fejezetében ( Colbourn, Dinitz 2007 , 702. oldal)
  2. ↑ Technikailag ez egy 2. rangú előfordulási struktúra, ahol a rang a vizsgált objektumok típusainak számát jelenti (itt pontok és vonalak). Magasabb rangú struktúrákat is tanulmányoznak, de egyes szerzők a 2. rangra korlátozzák magukat, és mi is ezt fogjuk tenni.
  3. ↑ 1 2 Moorhouse , p. 5.
  4. ↑ Dembowski, 1968 , p. 5.
  5. ↑ Coxeter, 1969 , p. 233.
  6. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , p. 94–170.
  7. ↑ Számos alternatív axióma létezik az ilyen „nem trivialitásra”. Az axióma helyettesíthető azzal, hogy "van három pont, amely nem esik egy vonalon", mint Batten és Beutelspacher könyvében ( Batten, Beutelspacher 1993 ). Vannak más lehetőségek is, de mindegyiknek rendelkeznie kell egy létezési állítással , amely kizárja a túl egyszerű eseteket.
  8. ↑ Fano, 1892 , p. 106–132.
  9. ↑ Collino, Conte és Verra, 2013 , 6
  10. ↑ Malkevitch, , Véges geometriák? egy AMS kiemelt oszlop
  11. ↑ Az n használata a névben szabványos, és nem tévesztendő össze a konfigurációban lévő pontok számával.
  12. ↑ Weisstein, Eric W. Archiválva : 2004. április 1., a Wayback Machine , "de Bruijn–Erdős Theorem" archiválva : 2019. május 2., a Wayback Machine at MathWorld Archiválva : 2000. február 29.

Irodalom

  • G. Fano. Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva // Giornale di Matemache. - 1892. - T. 30 . – S. 106–132 .
  • HSM Coxeter. Bevezetés a geometriába . - New York: John Wiley & Sons, 1969. -  233. o . — ISBN 0-471-50458-0 .
  • David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. Geometria és a képzelet . — 2. - Chelsea, 1952. - S.  94-170 . — ISBN 0-8284-1087-9 .
  • Lynn Margaret Batten. Véges geometriák kombinatorikája . - New York: Cambridge University Press, 1986. - ISBN 0-521-31857-2 .
  • Lynn Margaret Batten, Albrecht Beutelspacher. A véges lineáris terek elmélete . - New York: Cambridge University Press, 1993. - ISBN 0-521-33317-2 .
  • Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations , Elsevier BV
  • Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. A kombinatorikus tervezés kézikönyve. — 2. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8 .
  • Collino, Alberto; Conte, Alberto & Verra, Alessandro (2013), Gino Fano életéről és tudományos munkásságáról, arΧiv : 1311.7177 . 
  • Dembowski Péter. Véges geometriák. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1968. - Vol. 44. - ( Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ). — ISBN 3-540-61786-8 .
  • Malkevitch, Joe Véges geometriák? . Letöltve: 2013. december 2.
  • Moorhouse, G. Eric Incidence Geometry . MATH 5700 2007. ősz  (angol) (pdf)  (nem elérhető link) . Wyomingi Egyetem (2007. augusztus) . Hozzáférés dátuma: 2017. január 17. Az eredetiből archiválva : 2013. október 29.
  • Johannes Ueberberg. A beesési geometria alapjai. - Springer, 2011. - (Springer-monográfiák a matematikából). — ISBN 978-3-642-26960-8 . - doi : 10.1007/978-3-642-20972-7 . .
  • Ernest E. Shult. Pontok és vonalak. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . - doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 . .
  • Simeon Ball. Véges geometria és kombinatorikus alkalmazások. - Cambridge University Press, 2015. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-1107518438 . .

Linkek