Általánosított sokszög

Az általánosított sokszög Jacques Tits által 1959-ben javasolt előfordulási struktúra . Az általánosított n -szögek közé tartoznak a projektív síkok (általánosított háromszögek, n =3) és az általánosított négyszögek ( n =4) , mint speciális esetek . Sok általánosított sokszöget kapunk a Lie csoportokból , de vannak olyan egzotikus általánosított sokszögek, amelyeket nem kapunk meg ilyen módon. Az általánosított sokszögeket, amelyek megfelelnek a Moufang tulajdonságnak nevezett feltételnek, a Tits és Weiss teljes mértékben osztályozzák. Bármely általánosított n - szög páros n -nel is közel sokszög .

Definíció

Az általánosított 2 -gon (digon) legalább 2 pontból és 2 egyenesből álló beesési struktúra , ahol minden pont minden vonalra esik.

Általánosított n -szög esetén ez a beesési struktúra ( ), ahol a pontok halmaza, az egyenesek halmaza és az előfordulási reláció , úgy, hogy: $n\geq 3$ $P,L,I$ $P$ $L$ $I\subseteq P\times L$

Ez egy részben lineáris tér.
Nem tartalmazza a szokásos m -gonokat algeometriájaként . $2\leq m<n$
Nem tartalmazza a szokásos n -szögeket algeometriaként.
Bármelyikhez létezik egy ( ) részgeometria, amely izomorf egy n - szöggel, úgy, hogy . $\{A_{1},A_{2}\}\subseteq P\cup L$ $P',L',I'$ $\{A_{1},A_{2}\}\subseteq P'\cup L'$

E kifejezések kifejezésének egyenértékű, de néha egyszerűbb módja a következő. Vegyünk egy kétrészes beesési gráfot , amelyben sok csúcs és él köt össze pont- és vonalpárokat. $P\cup L$

A beesési gráf kerülete kétszerese a beesési gráf n átmérőjének .

Innentől egyértelművé kell tenni, hogy az általánosított sokszögek előfordulási gráfjai Moore-gráfok .

Egy általánosított sokszögnek van rendje (s,t), ha

elemeinek megfelelő beesési gráf minden csúcsa azonos s + 1 fokú valamely s természetes számra . Más szavakkal, bármely sor pontosan s + 1 pontot tartalmaz, $L$
elemeinek megfelelő előfordulási gráf minden csúcsa azonos t + 1 fokú valamely t természetes számra . Más szavakkal, bármely pont pontosan t + 1 egyenesen fekszik. $P$

Azt mondjuk, hogy egy általánosított sokszög vastag, ha bármely pont (vonal) legalább három egyenesre (pontra) esik. Minden vastag általánosított sokszögnek van rendje.

Az általánosított n - gon ( ) duálisa az incidencia struktúra, amelyben a pontok és vonalak szerepet cserélnek, és az incidencia reláció a reláció inverze lesz . Könnyen kimutatható, hogy a duális szerkezet is egy általánosított n - gon. $P,L,I$ $én$

Példák

Az általánosított digon előfordulási gráfja egy teljes kétrészes gráf K s +1, t +1 .
Bármely n ≥ 3 természetes szám esetén egy n oldalú közönséges sokszög határát vesszük . Deklaráljuk a sokszög csúcsait pontnak, az oldalakat pedig egyeneseknek. Az előfordulási összefüggés természetes. Egy általánosított n -gont kapunk, ahol s = t = 1.
Bármely Lie típusú 2. rangú G csoporthoz létezik egy általánosított n - gon X , ahol n egyenlő 3, 4, 6 vagy 8-cal, így G tranzitív módon hat az X zászlók halmazára . A végső esetben n=6 esetén kaphatunk egy törött Cayley-hatszöget ( q , q ) rendű G 2 -re ( q ) és egy csavart hármas rendű hatszöget ( q 3 , q ) 3 D 4 -re. ( q 3 ) , és n=8 esetén kapunk egy Ree-Tits rendű ( q , q 2 ) nyolcszöget 2 F 4 ( q ) esetén, ahol q =2 2 n +1 . A dualitásig csak véges vastag általánosított hatszögek és nyolcszögek ismertek.

Paraméterkorlát

Walter Veit [1] és Graham Higman bebizonyította, hogy s ≥ 2, t ≥ 2 rendű véges általánosított n -szögek ( s , t ) csak a következő n értékek esetén létezhetnek :

2, 3, 4, 6 vagy 8.

Az ezekhez az értékekhez tartozó általánosított "n"-szögeket általánosított digonoknak (digonoknak), háromszögeknek, négyszögeknek, hatszögeknek és nyolcszögeknek nevezik.

Ha a Veit-Higman tételt a Hemers-Roos egyenlőtlenségekkel kombináljuk, a következő megszorításokat kapjuk:

Ha n = 2, az előfordulási gráf egy teljes kétrészes gráf, és "s" és "t" tetszőleges egész számok lehetnek.
Ha n =3, akkor a szerkezet véges projektív sík és s = t .
Ha n =4, akkor a szerkezet véges általánosított négyszög , és t 1/2 ≤ s ≤ t 2 .
Ha n =6, akkor st négyzet , és t 1/3 ≤ s ≤ t 3 .
Ha n =8, akkor a 2. négyzet, és t 1/2 ≤ s ≤ t 2 .
Ha s vagy t 1, és a szerkezet nem egy közönséges n - gon, akkor a fent felsorolt n értékein kívül csak az n =12 érték lehetséges.

Bármely ismert véges általánosított hatszögnek ( s , t ) sorrendje s , t > 1 esetén van rendje

( q , q ) osztott Cayley hatszögek és kettőjük,
( q 3 , q ) egy csavart hármas hatszög, ill
( q , q 3 ) a kettős csavart hármas hatszög,

ahol q egy prímszám hatványa.

Az összes ismert általánosított nyolcszög ( s , t ) sorrendje s , t > 1 esetén

( q , q 2 ) a Ree-Tits nyolcszög, vagy
( q 2 , q ) a Ree-Tits nyolcszög kettőse,

ahol q 2 páratlan hatványa.

Félig véges általánosított sokszögek

Ha mindkét szám, s és t , végtelen, akkor léteznek általánosított sokszögek minden n -re, amely nagyobb vagy egyenlő 2-vel. Nem ismert, hogy vannak-e olyan általánosított sokszögek, amelyeknél az egyik paraméter véges (és nagyobb 1 -nél ), és a a második a végtelen (ezeket a sokszögeket félvégesnek nevezzük ). Peter Cameron bebizonyította, hogy nem léteznek olyan félvéges általánosított négyszögek, amelyeknek minden egyenesen három pontja van. Brewer Endres és Bill Kantor egymástól függetlenül négy ponton bizonyította a nemlétezést. Az általánosított négyszögek hiányát minden egyenesen öt pontra G. Cherlin a modellelmélet segítségével igazolta [2] . Más eredményeket nem ismerünk anélkül, hogy további feltevéseket tennénk az általánosított hatszögekre vagy nyolcszögekre vonatkozóan, még az egyes vonalak három pontjának legkisebb esetére sem.

Kombinatorikus alkalmazások

Mint fentebb megjegyeztük, az általánosított sokszögek előfordulási grafikonjai fontos tulajdonságokkal rendelkeznek. Például bármely (s, s) rendű általánosított n -gon egy (s+1,2n) cella . Ezek is rokonok az expanderekkel , mivel jó tágulási tulajdonságokkal rendelkeznek [3] . Az extremális expanderek bizonyos osztályait általánosított sokszögekből kapjuk [4] . A Ramsey-elméletben az általánosított sokszögek felhasználásával megszerkesztett gráfok jobb alsó korlátokat adnak az átlótól eltérő Ramsey-számokhoz [5] .

Lásd még

Struktúra (matematika)
Pár (B, N)
Ree csoport
Moufang repülőgép
Majdnem sokszög

Jegyzetek

↑ Németként a Feit vezetéknév Veit , de mivel Veit az Egyesült Államokba emigrált, ott vezetéknevének olvasása más lehet.
↑ Lokálisan véges, általánosított négyszögek, egyenesen legfeljebb öt ponttal . Letöltve: 2017. augusztus 20. Az eredetiből archiválva : 2021. július 29. (határozatlan)
↑ Explicit koncentrátorok a Generalized N -Gons | SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods | Vol. 5, sz. 3 | Ipari és Alkalmazott Matematikai Társaság
↑ Archivált másolat . Letöltve: 2017. augusztus 20. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 22. (határozatlan)
↑ Ugyanazok a Ramsey -számhatárok, archiválva 2021. július 29-én a Wayback Machine -nél, Kostochka, Pudlak és Rödl szerezte be.

Irodalom

Godsil Chris, Royle Gordon. Algebrai gráfelmélet. - New York: Springer-Verlag, 2001. - Vol. 207. - (Diplomás szövegek matematikából). — ISBN 0-387-95220-9 . - doi : 10.1007/978-1-4613-0163-9 .
Feit Walter, Higman Graham. Bizonyos általánosított sokszögek nem létezése // Journal of Algebra. - 1964. - T. 1 . – S. 114–131 . - doi : 10.1016/0021-8693(64)90028-6 .
Haemers WH, Roos C. Egy egyenlőtlenség általánosított hatszögekre // Geometriae Dedicata. - 1981. - T. 10 . - S. 219-222 . - doi : 10.1007/BF01447425 .
Kantor WM Általánosított sokszögek, SCAB-k és GAB-ok // Épületek és diagramok geometriája . - Springer-Verlag, Berlin, 1986. - T. 1181. - S. 79-158. — (Matematikai előadásjegyzetek).
Van Maldeghem Hendrik. Általánosított sokszögek. - Basel: Birkhäuser Verlag, 1998. - Vol. 93. - (Monographs in Mathematics). — ISBN 3-7643-5864-5 . - doi : 10.1007/978-3-0348-0271-0 .
Stanton Dennis. Általánosított n -gonok és Csebicsev-polinomok // Journal of Combinatorial Theory . - 1983. - T. 34 . – S. 15–27 . - doi : 10.1016/0097-3165(83)90036-5 .
Cicik Jacques, Weiss Richard M. Moufang sokszögek. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - (Springer-monográfiák a matematikában). — ISBN 3-540-43714-2 .