Általánosított négyszög

Az általánosított négyszög olyan előfordulási struktúra, amelynek fő tulajdonsága a háromszögek hiánya (a szerkezet azonban sok négyszöget tartalmaz). Az általánosított négyszög definíció szerint egy második rangú poláris tér Az általánosított négyszögek olyan általánosított sokszögek , ahol n = 4 és majdnem 2n-szögek , ahol n = 2. Ugyancsak pontosan parciális pg( s , t ,α) geometriák, ahol α = 1.

Definíció

Az általánosított négyszög egy előfordulási struktúra ( P , B , I), ahol egy előfordulási reláció , amely kielégít bizonyos axiómákat . P elemei értelemszerűen egy általánosított négyszög csúcsai (pontjai), B elemei egyenesek . Az axiómák a következők: $\mathrm {I} \subseteq P\times B$

Létezik olyan s ( s ≥ 1) szám, hogy bármely egyenesen pontosan s + 1 pont van. Két különálló vonalon legfeljebb egy pont található.
Van egy t ( t ≥ 1) szám, amelyre pontosan t + 1 egyenes megy át bármely ponton . Legfeljebb egy vonal vezet két különböző ponton.
Minden olyan p ponthoz , amely nem fekszik az L egyenesen , van egy egyedi M egyenes és egy egyedi q pont úgy, hogy p az M -en , q pedig M -en és L -en található.

Egy számpár ( s , t ) az általánosított négyszög paraméterei. A lehetőségek végtelenek lehetnek. Ha az s vagy t szám egyenlő eggyel, akkor az általánosított négyszöget triviálisnak nevezzük . Például egy 3x3-as rács P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} és B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} triviális általánosított négyszög s = 2 és t = 1. Az ( s , t ) paraméterekkel rendelkező általánosított négyszöget gyakran GQ( s , t )-ként jelölik (az angol G általánosított Q uadrangle szóból).

A legkisebb nem triviális általánosított négyszög a GQ(2,2) , amelynek ábrázolását Stan Payne 1973-ban "szalvétának" nevezte.

Tulajdonságok

$|P|=(st+1)(s+1)$
$|B|=(st+1)(t+1)$
${\megjelenítési stílus (s+t)|st(s+1)(t+1)}$
${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2))$
${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2))$

Earls

Két érdekes grafikont kaphatunk egy általánosított négyszögből.

Egy általánosított négyszög összes pontját csúcsként tartalmazó kollineáris gráf , amelyben a kollineáris pontokat él köti össze. Ez a gráf egy erősen szabályos gráf paraméterekkel ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1, ahol (s,t) a négyszög rendje.
Egy beesési gráf , amelynek csúcsai egy általánosított négyszög összes pontja és egyenese, és két csúcs szomszédos, ha az egyik csúcs egy egyenesnek, a másik pedig egy pontnak felel meg ezen az egyenesen. Egy általánosított négyszög beesési grafikonja összefüggő , és egy négyes átmérőjű, nyolcas kerületű kétrészes gráf . Így egy általánosított négyszög egy példa a cellára . A konfigurációk előfordulási grafikonjait jelenleg Levy-gráfoknak nevezik , azonban az eredeti Levy-gráf a GQ(2,2) általánosított négyszög előfordulási gráfja volt.

Kettősség

Ha ( P , B ,I) általánosított négyszög ( s , t ) paraméterekkel, akkor ( B , P ,I −1 ) is általánosított négyszög (itt az I -1 az inverz incidencia relációt jelenti). Ezt a négyszöget kettős általánosított négyszögnek nevezzük . Paraméterei a ( t , s ) pár lesznek . A kettős szerkezet még s = t esetén sem feltétlenül izomorf az eredeti szerkezettel.

Általánosított négyszögek 3-as vonalmérettel

Pontosan öt (megengedett degenerált) általánosított négyszög létezik, amelyekben minden egyeneshez három pont tartozik

négyszög üres vonalkészlettel
négyszög, amelyben minden egyenes egy fix ponton halad át, ami megfelel a Wd(3,n) szélmalomnak
3x3 rács
négyszög W(2)
általánosított négyszög GQ(2,4)

Ez az öt négyszög az A n , D n , E 6 , E 7 és E 8 ADE osztályok öt gyökérrendszerének felel meg , azaz. egyszálú gyökérrendszerek (ez azt jelenti, hogy a Dynkin-diagramok elemei nem rendelkeznek több hivatkozással) [1] [2] .

Klasszikus általánosított négyszögek

Ha figyelembe vesszük a legalább 3-as rangú különféle poláris tereket

A másodrendű hiperbolikus felület (négyes) , a parabolikus négyzet és az elliptikus négyzet az egyetlen lehetséges négyzet a projektív terekben 1-es projektív indexű véges mezők felett. Ezeknek a négyzeteknek a paraméterei: $Q^{+}(3,q)$ $Q(4,q)$ $Q^{-}(5,q)$

Q(3,q):\ s=q,t=1

(ez csak egy rács)

Q(4,q):\ s=q,t=q

Q(5,q):\ s=q,t=q^{2}

Egy Hermiti sokaság akkor és csak akkor rendelkezik 1 projektív indexszel, ha n értéke 3 vagy 4. $H(n,q^{2})$

H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q

{\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3))

A szimplektikus polaritásnak akkor és csak akkor van 1-es dimenziójú maximális izotróp altere . Itt van egy általánosított négyszög , paraméterekkel . $PG(2d+1,q)$ $d=1$ $W(3,q)$ $s=q,t=q$

A -ból származtatott általánosított négyszög mindig izomorf a -re duális szerkezettel , mindkét struktúra önduális, ezért akkor és csak akkor izomorf egymással, ha páros. $Q(4,q)$ $W(3,q)$ $q$

Nem klasszikus példák

Legyen O egy hiperovális in , ahol q egyenlő egy prímszám páros hatványával , és ennek a projektív (Desargues-i) síknak a beágyazása . Most nézzük meg az előfordulási struktúrát , amelyben minden pont olyan pont, amelyen nem fekszik . Ennek a szerkezetnek az egyenesei olyan pontok, amelyek nem az O pontban fekszenek, és ott metszik egymást , és a beesés természetes módon van meghatározva. Ez egy (q-1,q+1) -általánosított négyszög. $PG(2,q)$ $\pi$ $PG(3,q)$ $T_{2}^{*}(O)$ $\pi$ $\pi$ $\pi$
Legyen q egy prímszám hatványa (páratlan vagy páros). Tekintsük a szimplektikus polaritást . Véletlenszerű p pontot választunk és meghatározzuk . Legyen beesési struktúránk egyenesei mindazon abszolút egyenesek [3] , amelyek nem -ben helyezkednek el , valamint a p ponton átmenő , de nem -on fekvő egyenesekkel együtt , valamint a pontok - minden olyan pont , amely nem -on fekszik . Az előfordulási reláció a természetes előfordulás lesz. Ismét (q-1,q+1) -generált négyszöget kaptunk. $\theta$ $PG(3,q)$ ${\displaystyle \pi =p^{\theta ))$ $\pi$ $\pi$ $PG(3,q)$ $\pi$

Paraméter korlátozások

Rácsokhoz és kettős rácsokhoz bármely z , z ≥ 1 egész számhoz léteznek általánosított négyszögek (1, z ) és ( z ,1) paraméterekkel. Ettől az esettől eltekintve csak a következő paraméterek tekinthetők elfogadhatónak (itt q egy prímszám tetszőleges hatványa ):

{\megjelenítési stílus (q, q)}

(q,q^{2})

és

(q^{2},q)

(q^{2},q^{3})

és

(q^{3},q^{2})

{\megjelenítési stílus (q-1,q+1)}

és

{\megjelenítési stílus (q+1,q-1)}

Jegyzetek

↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , p. 305-327.
↑ Browser .
↑ Legyen a tér felruházott polaritással (pontok leképezése a második sorrendű vonalakra a beesés megőrzésével). Ebben az esetben a pont a képén (a vonalon) feküdhet, de ez nem szükséges . Egy pont akkor abszolút, ha a képén fekszik, egy egyenes pedig akkor, ha átmegy a képén (ponton).

Irodalom

Payne SE, Thas JA Véges általánosított négyszögek . - Boston, MA: Pitman (Advanced Publishing Program), 1984. - V. 110. - P. vi+312. — (Kutatási jegyzetek a matematikából). - ISBN 0-273-08655-3 .
- Payne SE, Thas JA Véges általánosított négyszögek. - European Mathematical Society, 2009. - (EMS Matematikai előadássorozat). - ISBN 978-3-03719-066-1 .

Cameron PJ, Goethals JM, Seidel JJ, Shult EE Vonalgráfok , gyökérrendszerek és elliptikus geometria // Journal of Algebra. - Akadémiai Kiadó, 1976. - V. 43 , 1. sz. 1 .
Brouwer A.E. Algebra és geometria . – 2WF02 / 2WF05 tanfolyam. (határozatlan)