Andrejevszkij elmélkedés

Andreev-reflexió - egy normál fémről a szupravezető határfelületére eső elektron visszaverődési folyamata, amelyben az elektron lyukká alakul , mindkét sebességkomponenst ellentétesre változtatja (visszaverődés során), és két elektron belép a szupravezetőbe. (Cooper-pár). Alekszandr Fedorovics Andreev nevéhez fűződik , aki elméletileg 1964-ben megjósolta ezt a fajta reflexiót [1] . Ugyanakkor van egy tükör Andreev-reflexió , amelyben a lyuk nem változtatja meg a sebesség vetületét a határra. Ezt a hatást Beenacker 2006-ban jósolta meg.

A jelenség lényege

Az elektronok alapállapota normál fémben az abszolút nullához közelítő hőmérsékleten a Fermi -energiánál alacsonyabb energiájú töltött állapotok, a Fermi -energiánál nagyobb energiájú üres állapotok. Az elemi gerjesztések – elektronok és lyukak – tetszőlegesen kis energiájúak lehetnek. Másrészt a szupravezető gerjesztési spektrumának van egy tiltott energiák sávja , amelyet teljes szupravezető résnek nevezünk . Ezért egy olyan elektron vagy lyuk normál fémjéből, amelynek energiája a Fermi-szinttől számítva a rés ( ) alatt van, és a réstől ig terjedő tartományban van, a szupravezetőbe való behatolása lehetetlen [2] . Ha egy normál fém-szupravezető érintkezőre olyan feszültséget kapcsolunk, hogy az érintkezőn átmenő elektromos áramot az elektronok közvetlen átvitele miatt csak a rés felett termikusan aktivált hordozók határozzák meg, és exponenciálisan kicsi lesz. $2\Delta$ $E_F$ $\varepsilon <E_{F}-\Delta$ $\varepsilon =E_{F}+\Delta$ $V$ $eV<\Delta$

Ebben a helyzetben az áramot az Andreev reflexiós folyamat hozza létre. A határon beeső elektron visszaverődhet a szupravezető felületéről, és ugyanolyan gerjesztési energiájú lyukká válhat. Mivel a lyuk töltése ellentétes az elektron töltésével, az Andreev-reflexió során a töltés megmaradásának törvénye szerint az elektron töltésének kétszeresével megegyező töltés kerül át a szupravezetőbe, és ott Cooper-párt képez. [2] . Így az NS érintkezőn áthaladó áram körülbelül megkétszereződik, ami az érintkező áram-feszültség karakterisztikáján egy lineáris szakaszként fejeződik ki, alacsony feszültségeknél kettős meredekséggel . -nél az áram-feszültség karakterisztika lineárisan megy az ohmos törvény mentén. $|eV|<\Delta$ $|eV|>\Delta$

Egy mágneses tér és mágneses szerkezet nélküli izotróp fém, valamint egy s-páros szupravezető esetében a folyamat a következőképpen megy végbe. Andreev-reflexióval a gerjesztési energia megmarad, vagyis a kvázirészecske a gerjesztési spektrumban lévő elektronágról a lyukágra azonos energiával jut át. Ebben az esetben az elektron impulzusa némileg eltér a lyuk impulzusától, de a lendület változása elhanyagolható a Fermi-impulzushoz képest azoknál a fémeknél, ahol a Fermi-energia nagy. Azonban egy lyuk csoportsebessége (ahol és jelöli a kvázirészecskék energiáját és impulzusát) ellentétes az elektron csoportsebességével [3] . Ezért a koordinátatérben a lyuk az elektron pályája mentén mozog, de ellenkező irányban ( angol retroreflection ). Más szóval, az Andreev-reflexió során a kvázirészecske mindkét sebességkomponenst megfordítja (közönséges reflexióban csak a normál komponens vált előjelet). Mivel egy Cooper-párban a két elektron spinje ellentétes, ezért az elektron és a lyuk spinje is ellentétes. ${\vec {v}}=\partial \varepsilon /\partial {\vec {p}}$ $\varepsilon$ ${\vec {p}}$

Elméleti leírás

Az Andreev-reflexió leírására használt elméleti módszerek többsége a Green-féle függvény módszerén alapul . Mivel a Green-függvényeken alapuló leírás nehézkes a szupravezetők esetében, a szemiklasszikus közelítést alkalmazzuk - az Eilenberger -egyenleteket tiszta rendszerekre és az Usadel-egyenleteket abban az esetben, ha a szennyezőanyag-koncentráció elég magas [4] . A legtöbb probléma esetében azonban lehetőség van a formalizmus további egyszerűsítésére és az intuitív Bogolyubov-de Gennes egyenletekre , amelyek egyszerűen a Schrödinger-egyenlet általánosítása egy elektronokat és lyukakat is tartalmazó rendszer esetére.

A BTK elmélet [5] az utolsó közelítést használja az áram-feszültség karakterisztikák meghatározására fém-szupravezető érintkezőn keresztül. Az elmélet egydimenziós problémát vesz figyelembe tiszta anyagokra, ahol a részecskehullámvektor jó kvantumszám , és van egy szabad paramétere: a gát magassága a határon. A szupravezető Bogolyubov-de Gennes egyenlete a következőképpen van felírva

{\begin{pmatrix}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+G\delta (x)-\mu &\Delta \\\Delta ^{*} &\mu -{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-G\delta (x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{ pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

ahol a redukált Planck-állandó , m az elektron tömege, k a részecske hullámvektora, μ a kémiai potenciál , Δ =Δ 0 e iφ a szupravezető rés, φ a szupravezető fázisa, u és v az elektron és a lyukhullám függvények , G δ( x) egy G amplitúdójú delta függvény . Az ε energia sajátértékek a karakterisztikus egyenletből származnak $\hbar$

\varepsilon ^{2}=\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+\Delta ^{2}

Az ábra fém és szupravezető esetén mutatja a diszperziós összefüggéseket [6] .

Ennek az egyenletnek a két megoldása közül csak a pozitív energiát vesszük figyelembe. Ekkor egy fémre, ahol Δ = 0, négy hullámvektor van (ε < μ esetén), amelyek megfelelnek a síkhullámok síkmegoldásának . A táblázat az egyenlet összes megoldását mutatja. Az elektronok esetében az "e" indexet használjuk, a pozitív energiájú lyukakra pedig a vezetési sávból a "h" indexet. Szupravezető esetén, amikor |Δ| > 0, két esetet kell megkülönböztetni. Ha az energia ε > |Δ|, akkor vannak megoldások síkhullámok formájában. A második eset az ε < |Δ| feltételnek felel meg, amikor a kvantummechanikában a gát alatti alagút jól ismert hatásának megfelelő csillapított hullámok formájában léteznek megoldások .

A Bogolyubov-de Gennes egyenlet megoldása

Paraméter	Fém	Szupravezető ε > Δ 0	Szupravezető ε < Δ 0
Hullámvektorok elektronokhoz	$\hbar k_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +\varepsilon }}$	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu +i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , ε< Δ0
Hullámvektorok lyukak számára	$\hbar k_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -\varepsilon ))$	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu -{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , ε< Δ0
Elektronikus hullámfunkciók	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}\\0\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$
Lyukhullámfüggvények	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}0\\v_{0}\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$
Elektronikus amplitúdók	$u_{0}=1$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$
Lyuk amplitúdók	$v_{0}=1$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$

Ha a szórási mátrixra a standard elméletet használjuk az egydimenziós esetben, ahol a beeső, visszavert és átvitt hullámokat a fenti formában írjuk fel, akkor a reflexiós és transzmissziós együtthatók egyenleteit kaphatjuk meg a következő feltételekkel. a hullámfüggvény folytonossága a határon és a derivált ugrási feltétele a határon abban az esetben, ha tetszőleges magasságú deltapotenciált adunk hozzá. A származtatáshoz a csoportsebességnek is van egy feltétele , hogy a valószínűségi áram a beeső, visszavert és átvitt hullámok definíciója szerint kerül átvitelre, és egy elektronra csak egy beeső hullámot vegyünk figyelembe, a többit pedig szórjuk. . A csoportsebességek különböznek a fém v e/h és a szupravezető w e/h esetében

v_{e/h}={\frac {\hbar k_{e/h}}{m}}

w_{e/h}={\frac {\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{2}}}{\varepsilon }}v_{e/h}

Sőt, látható, hogy egy szupravezetőben a csoportsebesség a nullához közelít, ahogy az energia megközelíti a résszélességet. Andreev-reflexió esetén, amikor a Fermi-szint sokkal nagyobb, mint a részecskék és a rés energiája, a szórási (visszaverődési és áteresztési) amplitúdókat a következő alakban írjuk fel.

r_{he}={\frac {u_{0}v_{0}}{u_{0}^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0} ^{2})}}e^{-i\phi }

r_{ee}={\frac {(Z^{2}-iZ)(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}{u_{0}^{2} +Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}

t_{ee}={\frac {(1-iZ)u_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0} ^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

t_{he}={\frac {iZv_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0}^{2}+ Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

ahol a sorompó átlátszóságát meghatározó paraméter. A megfelelő valószínűségek az amplitúdómodulok négyzetei formájában lesznek megadva. Egy teljesen átlátszó gát az e → e folyamat nullázásához vezet , azaz nem lesz az elektron visszaverődése, míg az e → h folyamatra a következő kifejezést kapjuk: ε < Δ 0 ${\displaystyle Z=Gm/\hbar ^{2}k_{F))$

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -i{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}

és a megfelelő valószínűség 1 lesz. Nagy ε > Δ 0 energiáknál az amplitúdó az energia növekedésével csökken

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -{\textrm {arccosh}}{\ frac {\varepszilon }{\Delta _{0)))).

Andreev vezetőképesség

Szokatlan Andreev elmélkedése

Határ normál fém - ferromágnes

Szupravezető d-párosítással

Graphene

A szupravezető Bogolyubov-de Gennes egyenletének alakja [7]

{\begin{pmatrix}H-E_{F}&\Delta \\\Delta ^{*}&E_{F}-\Theta H\Theta ^{-1}\end{pmatrix)){\begin {pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}=\varepszilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

ahol H egy részecske Hamilton-operátora, E F a Fermi-szint , Δ az energiarés vagy sorrendi paraméter , u és v az elektron- és lyukhullámfüggvények, Θ az időinverziós operátor, amelyet ez az összefüggés vezet be

\Theta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}C=\Theta ^{-1}

ahol C komplex konjugáció . Tehát ε > 0 a kvázirészecskék pozitív energiája a Fermi-szinttől számítva. Normál állapot esetén az elektronok és a lyukak egyenletei szét vannak választva, a megoldások függetlenek és energiában szimmetrikusak. Ha az elektron és a lyukkomponensek közötti kölcsönhatást a Δ párpotenciál segítségével bekapcsoljuk , elektronok és lyukak kötött állapotai jönnek létre. Az egyrészecskés Hamilton-féle konkrét formája nélkül a Bogolyubov-de Gennes egyenlet bármely diszperziós törvényre alkalmazható. A grafén esetében az energia és a hullámvektor lineáris kapcsolatával a Hamilton -féle alakot ölt

H={\begin{pmatrix}H_{+}&0\\0&H_{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i\hbar v_{F}(\sigma _{x} \partial _{x}+\sigma _{y}\partial _{y})+U&0\\0&-i\hbar v_{F}(\sigma _{x}\partial _{x}-\sigma _ {y}\partial _{y})+U\end{pmatrix}}

σ x , σ y , σ z a Pauli-mátrixok , amelyek nem a spin-térben, hanem a részrácsok terében hatnak, más néven pszeudospin, v F a Fermi-sebesség, U a potenciális energia, amely a régióban negatív. szupravezető alatt, | k | 2 = k x 2 + k y 2 a hullámvektor négyzete. Ha ezt a Hamilton-féleséget behelyettesítjük a Bogolyubov-de Gennes egyenletbe, nyolc differenciálegyenletből álló rendszert kapunk , hullámfüggvényekkel . Ez a rendszer két, egyenként négy egyenletből álló rendszerre bomlik, ami a Dirac–Bogolyubov–de Gennes egyenletekhez vezet a diszperziós relációval. ${\displaystyle u=(\Psi _{A+},\Psi _{B+},\Psi _{A-},\Psi _{B-})^{T))$ $v=(\Psi _{A-}^{*},-\Psi _{B-}^{*},\Psi _{A+}^{*},-\Psi _{B+}^ {*})^{T}$

\varepsilon ={\sqrt {|\Delta |^{2}+(E_{F}-U\pm \hbar v_{F}|{\textbf {k}}|)^{2}}}

A Bogolyubov-de Gennes egyenlet levezetésénél az átlagos térközelítést vettük figyelembe, amelyben a szupravezető koherencia-hossza jóval nagyobb, mint a szupravezető Fermi-hossza , de ezeknek a mennyiségeknek az aránya szupravezető és normál fém esetén. nincs korlátozás, és két korlátozó eset lehetséges, amikor és . Ez a két eset alapvetően különbözik egymástól: ha az elektron energiája , akkor -nál a szokásos Andreev-reflexió figyelhető meg, és -nél tükör Andreev-reflexió következik be, amikor a visszavert lyuk megtartja a sebesség-vetületet a határon. A grafén esetében szintén nincs visszaverődés, amikor az elektronok normál esetben a szupravezető-fém határfelületre esnek a kiralitás megőrzése miatti Fermi-szintek bármilyen eltérése miatt , ellentétben a normál fémmel, ahol reflexió létezik. ${\displaystyle \xi =\hbar v_{F}/|\Delta |\gg \lambda _{F}^{s))$ ${\displaystyle \xi \gg \lambda _{F}^{n))$ ${\displaystyle \xi \ll \lambda _{F}^{n))$ $\varepsilon <|\Delta |$ $E_{F}\gg |\Delta |$ $E_{F}\ll |\Delta |$

Érintkező szupravezető - nagy átlátszóságú szigetelő - szupravezető

Ha két szupravezető gyengén kapcsolódik, például egy szupravezető-szigetelő-szupervezető (SIS) szerkezetben, szuperáram folyhat a Josephson-effektus miatt, amely a két szupravezetőben lévő áramhordozók hullámfüggvényeinek fix fáziskülönbsége miatt lép fel. a normál fém közbenső rétegen [8] [9] . Az ilyen eszközszerkezetet Josephson-csomópontnak nevezik, és a csomóponton átfolyó túláram maximális mértéke a Josephson-kritikus áram, I c . A legtisztább hagyományos fém csomópontokban a túláram és az ellenállás szorzata normál állapotban egy állandó érték, amely arányos a BCS szupravezető rés méretével - 2Δ , azaz ahol I c a Josephson kritikus áram és R n a fém ellenállása normál állapotban ( Ambegaokara - Baratova képlet ). Az I c R n szorzat nem függ a minta geometriájától, mivel ugyanazok a geometriától függő paraméterek pusztulnak el az I c és R n kifejezésekben . Érdekes módon egy új mezoszkópikus rezsim akkor jön létre, amikor egy normál vezető szélessége, w , összezsugorodik, hogy összehasonlítható legyen a töltéshordozók Fermi-hullámhosszával λ F , és vezetőképessége normál állapotban e²/h egységekben kvantálódik, ahol e az elektrontöltés , h pedig Planck -állandó , gyengén függ a csatornahossz értékére vonatkozó korlátozásoktól, amelyek az egydimenziós részsávok képződéséből adódnak [10] [11] . Azt jósolták [12] , hogy az I c R n =πΔ/2e univerzális szorzat is fontos szerepet játszik a diszkrét transzverzális módusú rövid Josephson-elágazásokban, ahol az N módusok mindegyike önálló szintet alkot az Andreev-reflexióval kapcsolatban, és egyformán hozzájárul. teljes túláramig [13] . Így I c =2πNeΔ/h, bár ilyen rezsimet kísérletileg nem sikerült elérni [14] [15] . A SIS szendvicsszerkezetekkel kapcsolatos korábbi tanulmányok többségében hagyományos fémeket használtak a csomópontok kialakítására. Ezekben az átmenetekben nehéz olyan rezsimet elérni, amelyben w ~λ F , mivel kívánatos egy stabil és szabályozott átmenet megvalósítása több atomi réteg szélességében [16] . Ez a korlát félvezetők használatakor áthidalható a bennük lévő kis töltéshordozó sűrűség és ennek megfelelően nagy Fermi-hullámhossz miatt, mivel λ F =2π/k F =(2π/p 2D ) 1/2 , ahol k F a Fermi hullámvektor , p 2D pedig a lyukak kétdimenziós koncentrációja a kútban. $I_{c}R_{n}=\pi \Delta /2e$

Kötött állapotok és a Josephson-effektus

Többszörös Szent András-tükrözés

Andreevskaya interferometria

Jegyzetek

↑ Andreev A. F. // Kísérleti és elméleti fizika folyóirata. - M. , 1964. - T. 46 . - S. 1823 .
↑ 1 2 Nazarov és Blanter, 2009 , p. 98.
↑ Nazarov és Blanter, 2009 , p. 98-99.
↑ A. V. Szvidzinszkij. Térbeli inhomogén problémák a szupravezetés elméletében . - Nauka (Moszkva), 1982. - S. 141 -157. — ISBN 9780521832465 .. (Orosz)
↑ G.E. Blonder, M. Tinkham és T.M. Klapwijk. Átmenet fémről alagútra a szupravezető mikroszűkületekben: túláram, töltési egyensúlyhiány és szuperáram-átalakítás // Fizik . Fordulat. B. - 1982. - 1. évf. 25 . — 4515. o . - doi : 10.1103/PhysRevB.25.4515 .
↑ Dolcini F. Andreev Reflexió // Előadásjegyzetek a XXIII. fizika GradDays számára. — 2009. (elérhetetlen link)
↑ Beenakker CWJ Specular Andreev reflexió grafénben // Phys . Fordulat. Lett.. - 2006. - Vol. 97 . — P. 067007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.97.067007 .
↑ Tinkham M. Bevezetés a szupravezetésbe. – Dover New York, 1996.
↑ Likharev KK Szupravezető gyenge láncszemek // Rev. Mod. Phys.. - 1979. - T. 51 . - S. 101 .
↑ Thornton TJ, Pepper M., Ahmed H., Andrews D., Davis GJ Egydimenziós vezetés a GaAs-AlGaAs heterojunction 2D elektrongázában // Phys. Fordulat. leveleket. - 1986. - T. 56 . - S. 1198 .
↑ van Wees BJ, van Houten H., Beenakker CWJ, Williamoson JG, Kouwenhowen D., van der Marel, Foxon CWJ Pontkontaktus kvantált vezetőképessége kétdimenziós elektrongázban // Phys. Fordulat. leveleket. - 1988. - T. 60 . - S. 848 .
↑ Beenakker CWJ, van Houten H. Josephson áram a koherenciahossznál rövidebb szupravezető kvantumpont érintkezőn keresztül // Phys. Fordulat. leveleket. - 1991. - T. 66 . - S. 3056 .
↑ Klapwijk TM közelségi effektus Andreev szemszögéből // Journal of Superconductivity Incorporing Novel Magnetism. - 2004. - T. 17 . - S. 593 .
↑ Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Maximális szuperáram kvantálás megfigyelése szupravezető kvantumpontkontaktusban. — Phys. Fordulat. Levelek, 1995. - T. 75 . - S. 3533 .
↑ Bauch T., Hurfeld E., Krasnov VM, Delsing P., Takayanagi H., Akazaki T. Szuperáram és vezetőképesség korrelált kvantálása szupravezető kvantumpontkontaktusban // Phys. Fordulat. B. - 2005. - T. 71 . - S. 174502 .
↑ Muller CJ, Vanruitenbeek JM, De Jongh LJ Vezetőképesség és szuperáram diszkontinuitások változó szélességű atomi léptékű fémes szűkületekben // Phys. Fordulat. leveleket. - 1992. - T. 69 . - S. 140 .

Irodalom

Yuli V. Nazarov és Yaroslav M. Blanter. Kvantumszállítás: Bevezetés a nanotudományba . - Cambridge University Press (Cambridge), 2009. - P. 98-114 . — ISBN 9780521832465 .