CA csoport

Egy csoportot CA-csoportnak , CA - csoportnak vagy központosító Abeli-csoportnak nevezünk, ha bármely nem azonos elem központosítója egy Abeli - alcsoport . A véges CA-csoportok történelmi jelentőséggel bírnak, mint a későbbiekben a Thompson–Fate tételben és az egyszerű véges csoportok osztályozásában alkalmazott osztályozási típusok korai példái . Néhány fontos végtelen csoport a CA-csoport, például a szabad csoportok , a Tarski-szörnyek és néhány Burnside-csoport , és a lokálisan véges CA-csoportokat pontosan osztályozták. A CA-csoportokat kommutatív-tranzitív csoportoknak (vagy röviden CT-csoportoknak ) is nevezik, mivel a kommutativitás egy csoport nem azonos elemeinek tranzitív relációja akkor és csak akkor, ha a csoport CA-csoport.

Történelem

A lokálisan véges CA-csoportokat néhány matematikus osztályozta 1925 és 1998 között. Az első véges CA-csoportok egyszerűnek vagy megoldhatónak bizonyultak Weissner cikkében [1] . Ezután a Brouwer-Suzuki-Wall tételben [2] kimutatták, hogy a páros rendű véges CA-csoportok Frobenius-csoportok , Abeli-csoportok vagy kétdimenziós projektív speciális lineáris csoportok egy véges mező felett . páratlan sorrendű, PSL(2, 2 f ) for . Végül Suzuki cikkében [3] kimutatták, hogy a páratlan rendű véges CA-csoportok Frobenius-csoportok vagy Abeli-csoportok, és ezért nem egyszerűek.

A CA-csoportok fontosak voltak az egyszerű véges csoportok osztályozásában . Michio Suzuki megmutatta, hogy minden véges egyszerű , nem képes CA-csoportnak páros sorrendje van . Ezt az eredményt először kiterjesztették a Feit-Hall-Thompson tételre, megmutatva, hogy a véges egyszerű, nem Abeli ​​CN-csoportok páros sorrendűek, majd a Thompson-Fate tételre , amely kimondja, hogy minden véges egyszerű nem Abeli -féle CN-csoport csoportnak páros sorrendje van. A véges CA-csoportok osztályozásának leírása 1. és 2. példaként szerepel Suzuki könyvében [4] . A Frobenius-csoportok részletesebb leírását Wu [5] cikke tartalmazza , ahol bemutatják, hogy egy véges oldható CA-csoport egy Abeli- csoport és egy fixpont nélküli automorfizmus félig közvetlen szorzata, és fordítva, minden ilyen félig közvetlen termék. véges oldható CA-csoport. Wu kiterjesztette a Suzuki és mások besorolását is lokálisan véges csoportokba .

Példák

Bármely Abeli ​​csoport CA-csoport, és egy nem triviális központú csoport akkor és csak akkor CA-csoport, ha Abeli-csoport. A véges CA-csoportokat osztályozzák – a megoldható csoportok az Abel-csoportok ciklikus csoportok félig közvetlen szorzatai, így bármely nem triviális elem fix pont nélkül működik, és olyan csoportokat foglal magában, mint például a 4 k + 2 rendű diédercsoport , és egy alternáló csoport 4 sorrendi pont 12 , míg a nem megoldható csoportok mind egyszerű és 2 dimenziós projektív speciális lineáris csoportok PSL(2, 2 n ) -re . A végtelen CA-csoportok közé tartoznak a szabad csoportok , a PSL(2, R ) és a Burnside nagy prímkitevőjű csoportjai [6] . Néhány újabb eredmény a végtelen esetben Wu cikkében [5] található, beleértve a lokálisan véges CA-csoportok osztályozását. Wu azt is megjegyezte, hogy Tarski szörnyei a végtelen egyszerű CA-csoportok nyilvánvaló példái.

Jegyzetek

  1. ↑ Weisner, 1925 .
  2. ↑ Brauer, Suzuki, Fal, 1958 .
  3. ↑ Suzuki, 1957 .
  4. ↑ Suzuki, 1986 , p. 291–305.
  5. ↑ Wu 12. , 1998 .
  6. ↑ Lyndon, Schupp, 2001 , p. tíz.

Irodalom