Faktoriális

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 26 szerkesztést igényelnek .

A faktoriális egy nem negatív egész számok halmazán definiált függvény . A név a lat. factorialis - színészkedés, előállítás, szaporodás; jelölve , en faktoriálisan ejtve . A természetes szám faktoriálisát úgy definiáljuk, mint az összes természetes szám szorzatát 1-től a bezárólag: $n!$ $n$ $n$

n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k

Például,

5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

Mert olyan megállapodásnak tekintik, amely $n=0$

0!=1

. Az összes szám faktoriálisa alkotja az A000142 sorozatot az OEIS -ben ; a tudományos jelölésben szereplő értékek kerekítve vannak

n	n !
0	egy
egy	egy
2	2
3	6
négy	24
5	120
6	720
7	5040_ _
nyolc	40 320
9	362 880
tíz	3 628 800
tizenegy	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800 [1]
tizennégy	87 178 291 200 [2]
tizenöt	1 307 674 368 000 [ 3 ] _ _
16	20 922 789 888 000 [ 4 ] _ _
17	355 687 428 096 000 [5]
tizennyolc	6 402 373 705 728 000 [6]
19	121 645 100 408 832 000 [7]
húsz	2 432 902 008 176 640 000 [8]
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000 [9]
ötven	30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000 [10]
70	11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 [11]
100	≈ 9,332621544⋅10 157
450	≈ 1,733368733⋅10 1000
1000	≈ 4,023872601⋅10 2567
3 249	≈ 6,412337688⋅10 10000
10 000_	≈ 2,846259681⋅10 35659
25 206	≈ 1,205703438⋅10 100000
100 000_	≈ 2,824229408⋅10 456573
205 023	≈ 2,503898932⋅10 1000004
1 000 000 _ _	≈ 8,263931688⋅10 5565708
10 100	≈10 9,956570552⋅10 101
10 1000	≈10 10 1003
10 10 000	≈10 10 10 004
10 100 000	≈10 10 100 005
10 10 100	≈10 10 10 100

A faktoriálist aktívan használják a matematika különböző ágaiban: kombinatorika , matematikai elemzés , számelmélet , funkcionális elemzés stb.

A faktoriális rendkívül gyorsan növekvő függvény. Gyorsabban növekszik, mint bármely exponenciális függvény vagy bármely hatványfüggvény , és gyorsabban, mint ezeknek a függvényeknek a szorzatainak összege. Az exponenciális függvény azonban gyorsabban növekszik, mint a faktoriális, akárcsak a legtöbb dupla kitevő, mint pl . ${\displaystyle n^{n))$ $e^{{e^{n}}}$

Tulajdonságok

Ismétlődő képlet

A faktoriális a következő rekurzív képlettel adható meg :

n!= \begin{esetek} 1 & n = 0,\\ n \cdot(n-1)! & n > 0. \end{cases}

Kombinatorikus értelmezés

A kombinatorikában egy n természetes szám faktoriálisát egy n elemű halmaz permutációinak (sorrendjének) számaként értelmezzük .

Például egy 4 elemű { A , B , C , D } halmazhoz 4 van! = 24 permutáció:

ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

A faktoriális kombinatorikus értelmezése megerősíti a megegyezés célszerűségét - az üres halmaz permutációinak száma eggyel egyenlő. Ezen túlmenően az elemek elhelyezéseinek számának képlete by $0!=1$ $n$ $m$

A_{n}^{m}={\frac {n!}{(nm)!}}

amikor az elemek permutációinak számának képletévé változik (sorrendű ), amely egyenlő -val . $n=m$ $n$ $n$ $n!$

Kapcsolat a gamma függvénnyel

A faktoriális egy egész argumentum gammafüggvényéhez kapcsolódik a reláció által

n!=\Gamma (n+1)

Ugyanezt a kifejezést használják a faktoriális fogalmának a valós számok halmazára történő általánosításához . A gamma-függvény analitikus folytatását használva a faktoriális definíciós tartományát is kiterjesztjük a teljes komplex síkra , kizárva a szinguláris pontokat . $n=-1,-2,-3\lpont$

A faktoriális közvetlen általánosítása a valós és komplex számok halmazaira a pi-függvény , amely így definiálható. $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\mathrm {Re} (z)>-1$

\Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{{z}}e^{{-t}}\,{\mathrm {d}}t

(integrál definíció).

Egy természetes szám vagy nulla pi függvénye egybeesik a faktoriálisával: . A faktoriálishoz hasonlóan a pi függvény is kielégíti az ismétlődési relációt . $\Pi (n)=n!$ $\Pi (z)=z\Pi (z-1)$

Stirling-képlet

A Stirling-képlet egy aszimptotikus képlet a faktoriális kiszámításához:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{ \frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879} {209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{{-7}}\right)\right),

lásd O-nagy [12] .

Sok esetben a faktoriális hozzávetőleges kiszámításához elegendő csak a Stirling-képlet fő tagját figyelembe venni:

n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

Ugyanakkor vitatható, hogy

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n)}.

A Stirling-képlet lehetővé teszi a nagy számok faktoriálisainak hozzávetőleges értékeinek meghatározását anélkül, hogy közvetlenül megszorozná a természetes számok sorozatát. Például a Stirling-képlet segítségével ezt könnyű kiszámítani

100! ≈ 9,33 × 10 157 ;
1000! ≈ 4,02 × 10 2567 ;
10.000! ≈ 2,85×10 35 659 .

Prime factorization

Minden p prímszám beírja n kiterjesztését ! prímtényezőkkel a következő képlettel meghatározott hatványhoz:

\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \jobbra\rfloor + \ldots.

Ily módon

n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},

ahol a szorzat átveszi az összes prímszámot. Látható, hogy bármely n - nél nagyobb p prím esetén a megfelelő tényező a szorzatban 1; ezért a szorzatot csak n -t meg nem haladó p prímek vehetik át .

Kapcsolódás egy hatványfüggvény deriváltjával

Nem negatív n egész szám esetén :

\left(x^{n}\right)^{{(n)}}=n!

Például:

\left( x^5 \right)^{(5)} = \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} = \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right) ''' = \left(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' = {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!

Egyéb tulajdonságok

Természetes szám esetén :

n

n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n

Bárkinek :

n>1

n!

nem egy egész szám négyzete ; Bárkinek :

n>4

n!

0-ra végződik; Bárkinek :

n>9

n!

00-ra végződik. Ha prímszám:

n

(n-1)!+1

osztható -vel ( Wilson-tétel )

n

Történelem

A faktoriális kifejezések megjelentek a kombinatorika korai kutatásában , bár Christian Kramp francia matematikus csak 1808-ban javasolta a kompakt jelölést [13] . Fontos mérföldkő volt Stirling képletének felfedezése , amelyet James Stirling A differenciálmódszer ( lat. Methodus differentialis , 1730) című értekezésében tett közzé . Kicsit korábban majdnem ugyanezt a képletet tette közzé Stirling barátja , Abraham de Moivre , de kevésbé teljes formában (együttható helyett határozatlan állandó volt) [14] . $n!$ ${\sqrt {2\pi }}$

Stirling részletesen tanulmányozta a faktoriális tulajdonságait, egészen annak tisztázásához, hogy lehetséges-e kiterjeszteni ezt a fogalmat tetszőleges valós számokra. Számos lehetséges módot ismertetett ennek az ötletnek a megvalósítására, és úgy vélekedett, hogy:

\left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}

Stirling nem tudta, hogy Leonhard Euler egy évvel korábban már talált megoldást a problémára . Christian Goldbachnak írt levelében Euler leírta a szükséges általánosítást [15] :

x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)))

Ezt az ötletet kidolgozva Euler a következő évben, 1730-ban bevezette a gamma-függvény fogalmát klasszikus integrál formájában. Ezeket az eredményeket a Szentpétervári Tudományos Akadémia folyóiratában tette közzé 1729-1730-ban.

Általánosítások

Dupla faktoriális

Egy n szám kettős faktoriálisát n ‼ -vel jelöljük , és az [1, n ] szegmensben lévő összes olyan természetes szám szorzataként definiáljuk, amelyek paritása megegyezik n -lel .

Még n esetén is :

n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2)) 2i = 2^{{\szín{fehér}1}^{\ !\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Páratlan n esetén :

n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{{i=0}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}(2i +1)={\frac {n!}{2^{{{\color {white}1}^{{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2))))} }\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\jobbra)!}}

Kapcsolat két szomszédos nemnegatív egész szám dupla faktoriálisa és az egyik közönséges faktoriálisa között.

n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}

Képletek származtatása

Páros n képlete :

n!! = 2^{{\szín{fehér}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

A képlet származtatása: $\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Black}\tfrac{n}{2))} = { \color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2))} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color {Fekete}\tfrac{n}{2}}} = \\ & = {2^{{\szín{fehér}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\szín{fehér} 1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{igazítás}$

Egy példa a fent használt képlet származtatására:

\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = \\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = \\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = \\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}

A páratlan n képlete :

n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}

A képlet származtatása: $\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Black}\frac{n+1}{2} )) = \frac{{\color{Gray}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Fekete}\frac{n -1}{2))} \cdot {\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^ {\color{Black}\frac{n+1}{2}}}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n- 1)))_{\szín{Fekete}\frac{n-1}{2}}} = \\ & = \frac{\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot {\color {OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color {OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Black}n}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \ cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{\color{Gray}\underbrace{{\color{Fekete}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Fekete}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1) )!!} \end{igazítás}$ Így lehetséges két szomszédos nemnegatív egész dupla faktoriálisa közötti kapcsolat bemutatása az egyik szokásos faktoriálisán keresztül. Ezután folytatjuk a páratlan n dupla faktoriális képletének származtatását . Menjünk vissza egy lépést (az ( n -1)!! explicit megjelenése előtt!! ) és hajtsunk végre néhány azonos algebrai transzformációt a nevezőn: $\begin{align}& {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)))_{\color{Black}\frac {n-1}{2))} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{ n-1}{2}}} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} _{\szín{Fekete}\tfrac{n-1}{2}}} = \\ & = {2^({\szín{fehér}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2))} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\ szín{fehér}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{igazítás}$ A kapott kifejezést visszacseréljük a nevező képletébe : $n!!$ $n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}$

Egy példa a fent használt képlet származtatására:

{\begin{aligned}15!!&={\frac {15!}{2^{({\color {white}1}^{{\!\!\!\!{\frac {15-1} {2))))))\cdot \left({\frac {15-1}{2}}\right)!}}={\frac {15!}{2^{({\szín {fehér} 1}^{{\!\!\!7))))\cdot 7!))=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Fekete}{\frac {1\cdot 2\ cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)))))=\\&={\szín {fehér}\ zárójel {\color {Fekete}{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)}} }}=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Fekete}{\frac {1\cdot {\color {OliveGreen}2}\cdot 3\cdot {\color {OliveGreen}4}\ cdot 5\cdot {\color {OliveGreen}6}\cdot 7\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot 9\cdot {\color {OliveGreen}10}\cdot 11\cdot {\color {OliveGreen}12 }\cdot 13\cdot {\color {OliveGreen}14}\cdot 15}{\color {Ol iveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14))))=\\&={\color {white}\overbrace {\color {Black}1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}=2027025\end{igazított}}

Miután behelyettesítettük páros n -t és páratlan n -t, ahol egy nemnegatív egész szám, kapjuk: $n=2k$ $n=2k+1$ $k$

páros számhoz:

(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{{i=1}}^{{k}}2i=2^{k}\cdot k!

páratlan szám esetén:

(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{{i=0}}^{{k}}(2i+1)={ \frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}

Megállapodás alapján : Ez az egyenlőség természetesen fennáll: $0!! = 1$

0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1

A dupla faktoriális a szabályos faktoriálishoz hasonlóan csak nemnegatív egész számokra van definiálva.

Az n értéksor !! így kezdődik [16] :

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, 10321920, 34459425, 185794560, 654 729 075, 3 715 891 200, 185794560, 654 729 075, 3 715 891 200, 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 753.

Több faktoriális

Egy n szám m - szeres faktoriálisátjelöljükés definiáljuk. Legyen az n szám mintaholakkor [17] $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ $n=mk-r,$ $k\in {\mathbb {Z}),$ $r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.$

n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)

A közönséges és a kettős faktoriális az m -szeres faktoriális speciális esetei m = 1 és m = 2 esetén.

A többszörös faktoriális a következő összefüggéssel kapcsolódik a gammafüggvényhez [18] :

n\underbrace {!!\ldots !}_{m}=\prod _{{i=1}}^{{k}}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\jobbra))).

A többszörös faktoriálist rövidített formában is meg lehet írni . $\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m$ ${\displaystyle n!_{(m)))$

Hiányos faktoriális

Csökkenő faktoriális

A csökkenő faktoriális a kifejezés

(n)_k = n^{\aláhúzás{k)) = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n! }{(nk)!} = \prod_{i=n-k+1}^ni

Például:

n =7; k = 4 ( n − k ) + 1 = 4, nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

A csökkenő faktoriális megadja az elhelyezések számát n -től k -ig .

Növekvő faktoriális

A növekvő faktoriális kifejezés

n^{(k)} = n^{\overline{k)) = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1) !}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.

Primorial vagy primorial

Egy n szám elsődleges vagy primoriális ( eng. primorial ) jelölése p n # , és az első n prímszám szorzataként van definiálva . Például,

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310

Néha az elsődleges szám egy adott n értéket meg nem haladó összes prímszám szorzataként van definiálva . $n\#$

A primoriálisok sorozata (beleértve a ) így kezdődik [19] : ${\textstyle{1\# \equiv 1}}$

1 , 2 , 6 , 30 , 210 , 2310 , 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 …

Fibonorial vagy fibonaccial

Az első néhány Fibonacci-szám szorzata. Írva n ! F. _

Például: 6! F = . $1\times 1\times 2\times 3\times 5\times 8=240$

Szuperfaktoriálisok

Neil Sloane és Simon Plouffet1995 - ben a szuperfaktoriálist az első n faktoriális szorzataként határozták meg. E meghatározás szerint a négy szuperfaktoriálisa egyenlő

\operátornév {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288

(mivel nincs megállapított megnevezés, funkcionálisat használnak).

Összességében

\operátornév{sf}(n) =\prod_{k=1}^nk! =\prod_{k=1}^nk^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n ^1.

A számok szuperfaktoriális sorozata így kezdődik [20] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 , 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000

Az ötletet 2000-ben Henry Bottomley általánosította , ami a hiperfaktoriálisokhoz ( eng. Hyperfactorial ) vezetett, amelyek az első n szuperfaktoriális termékei. A számok hiperfaktoriális sorozata így kezdődik [21] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Ismételten folytatva , definiálható a többszintű faktoriális , vagy az n m - szintű faktoriálisa , mint az 1-től n -ig terjedő számok ( m − 1) szintű faktoriálisának szorzata , azaz.

\operátornév {mf}(n,m)=\operátornév {mf}(n-1,m)\operátornév {mf}(n,m-1)=\prod _{{k=1}}^{n} k^{{n-k+m-1 \choose nk}},

hol és _ $\operátornév{mf}(n,0)=n$ $n>0$ $\operátornév{mf}(0,m)=1.$

Szubfaktoriális

Szubfaktoriális ! n az n rendű permutációk száma , azaz egy n elemű halmaz fix pont nélküli permutációi .

Lásd még

Factorion

Jegyzetek

↑ Hatmilliárd-kétszázhuszonhétmillió huszonezer-nyolcszáz
↑ Nyolcvanhét milliárd százhetvennyolc millió kétszázkilencvenegyezerkétszáz
↑ Egybillió háromszázhétmilliárd hatszázhetvennégymillió háromszázhatvannyolcezer
↑ Húszbillió kilencszázhuszonkét milliárd hétszáznyolcvankilenc millió nyolcszáznyolcvannyolcezer
↑ Háromszázötvenöt billió hatszáznyolcvanhét milliárd négyszázhuszonnyolc millió kilencvenhatezer
↑ Hat kvadrillió négyszázkétbillió háromszázhetvenhárom milliárd hétszázötmillió hétszázhuszonnyolcezer
↑ Százhuszonegy kvadrillió hatszáznegyvenöt billió százmilliárd négyszáznyolcmillió nyolcszázharminckétezer
↑ Kétötmillió négyszázharminckétkvadrillió kilencszázkétbillió nyolcmilliárd százhetvenhatmillió hatszáznegyvenezer
↑ Tizenötszeptillió ötszáztizenegy hatmilliárd kétszáztízötödmilliárd negyvenhárom kvadrillió háromszázharmincbillió kilencszáznyolcvanötmilliárd kilencszáznyolcvannégy millió
↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один szextillió ötszázhatvannyolc kvintimillió kilencszázhatvan kvadrillió ötszáztizenkét billió
↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста ötvennyolc november tízezer kilencszázharmincnyolc oktodecill száznegyvenkettő héttizedmilliárd ötszáznegyvenhat cedecill négyszázhuszonöt ötezer nyolcszázötvenhét négyszázhatvanötvennyolc nyolcszázhatvanötvennegyed -két dodecillió nyolcszázhatvannégy bizonytalan hatszázhuszonnyolc decimilliárd ötszáznyolcvankettő nyolcvannyolcvankilenc septi millió nyolcszáznegyvenöt hatmilliárd háromszáztizenkilenc kvintimillió hatszáznyolcvan kvadrillió
↑ Ennek a bővítésnek az együtthatói A001163 (számlálók) és A001164 (nevezők) adják meg.
↑ Crump, Christian . Letöltve: 2016. szeptember 19. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 19. (határozatlan)
↑ Pearson, Karl (1924), Történelmi megjegyzés a normál hibagörbe eredetéhez , Biometrika 16: 402–404 [p. 403] , DOI 10.2307/2331714 : „Stirling csak azt mutatta meg, hogy a De Moivre-képletben szereplő számtani állandó . Úgy gondolom, hogy ez nem teszi őt a tétel szerzőjévé." ${\sqrt {2\pi }}$
↑ Donald Knuth . A programozás művészete, I. kötet. Alapvető algoritmusok. - M .: Mir , 1976. - S. 79-81. — 736 p.
↑ OEIS szekvencia A006882 _
↑ "Enciklopédia gyerekeknek" Avanta +. Matematika.
↑ wolframalpha.com Archivált : 2013. november 1. a Wayback Machine -nél .
↑ A002110 sorozat az OEIS -ben
↑ OEIS szekvencia A000178 _
↑ OEIS sorozat A055462 _

Matematikai jelek

Plusz ( + )
Mínusz ( - )
Szorzójel ( · vagy × )
Osztályjel ( : vagy / )
Obelus ( ÷ )
Gyökér jel ( √ )
Faktoriális ( ! )
Integrált jel ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
egyenlőségjel ( = , ≈ , ≡ stb. )
Egyenlőtlenség jelei ( ≠ , > , < stb. )
Arányosság ( ∝ )
zárójelek ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Függőleges sáv ( | )
Perjel, perjel ( / )
fordított perjel, fordított perjel ( \ )
Végtelen jel ( ∞ )
Fokozatjel ( ° )
Stroke ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Csillag ( * )
Százalék ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ )
Plusz-mínusz ( ± )
Mínusz-plusz jel ( ∓ )
Tizedes elválasztó ( , vagy . )
bizonyítási karakter vége ( ∎ )