Jackson mag

A közelítéselméletben a Jackson kernel a következő képlettel megadott -periodikus függvény: $2\pi$

$d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}} }}\jobbra)^{4}$

Egy tudósról nevezték el, aki közelítések és trigonometrikus polinomok elméletén dolgozott – Dunham Jackson .

Ez a függvény egy kernel , amelynek konvolúciója a Fourier-sor részösszegét adja .

Jackson kernel állandó

Az állandót a relációból határozzuk meg, és egyenlő $\gamma_n$ $\int \limits _{\mathbb {T} }{d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]$ $\gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Bizonyítás

Az L 2 tér esetére a Parseval-egyenlőséget használjuk :

Ha , akkor a következő azonosság igaz: ${\displaystyle f\in \mathbb {L} _{2))$ $\int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum \limits _{n= 0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\jobbra)}\jobbra)$

Ebbe az egyenlőségbe be kell cserélni $f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

Először is meg kell írni egy kifejezést a Fejér kernel és a Dirichlet kernel használatához : $\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

$\Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\ sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{D_{ k}(t)}=$
$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1 }{2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\jobbra)}$

Ebből következik, hogy

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=2\pi n {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2} }+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt))))$

A két összeget felcserélve és az indexekre megfelelő transzformációt alkalmazva a következőt kapjuk:

$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}=n+2\ sum \limits _{j=1}^{n-1}\sum \limits _{k=1}^{nj}{\cos {jt}}=n+\sum \limits _{j=1}^{ n-1}{(nj)\cos{jt}}$

Továbbá nyilvánvaló, hogy a kapott trigonometrikus polinom együtthatói az összegének Fourier -együtthatói lesznek , azaz $a_{0}=2n,a_{k}=kj(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0$

Csak ezeket az együtthatókat kell helyettesíteni az integrál megfelelő kifejezésében:

$\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\jobbra) ^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\sum \limits _{j=1}^{n-1}{\left(nj\right)^{2}}\jobbra) =\pi \left(2n^{2}+4\sum _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4 \left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\right)\right)=$
$=\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n( 2n^{2}+1)}{3}}$
Tehát a Jackson kernel alapazonosságába behelyettesítve egy kifejezést kaphatunk a konstansra: Így az állandóra vonatkozó állítás bizonyítást nyer.
$\gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2))}{\sin { \frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Lásd még

Irodalom

AV Efimov. Jackson Singular Integral (nem elérhető link) (2001). Letöltve: 2010. október 11. Az eredetiből archiválva : 2010. október 2.. (határozatlan)
A. Shadrin. Közelítéselmélet – 9. előadás (Cambridge-i Egyetem – Alkalmazott Matematika és Elméleti Fizika Tanszék) (elérhetetlen link) (2005). Letöltve: 2010. október 11. Az eredetiből archiválva : 2011. június 5.. (határozatlan)
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometrikus Fourier-sorok és a közelítéselmélet elemei. - L . : Leningrád kiadó. un-ta, 1983. - S. 188.
Bari N.K. Trigonometrikus sorozat . - Moszkva: Állami Fizikai és Matematikai Irodalmi Kiadó, 1961. - 936. o .
D.Jackson. A közelítés elmélete. – Amer. Math. Soc., 1930.