Fejér magja

A Fejér kernel a Fourier-sorok vagy Fourier-transzformációk Cesàro-összegzésére használt függvény , amelyet a következő képlet ad meg:

\Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)

hol van a Dirichlet kernel . Rövidített formában [1] : $D_{k}(x)$

\Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1))){\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2)) x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2))))

Fejer Lipót magyar matematikusról kapta a nevét .

Ha egy integrálható on és -periodic függvény, akkor: $f(x)$ $[-\pi ,\pi ]$ $2\pi$

\forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \;\;\sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi } ^{\pi }f(xu)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(xu)+f(x+u))\Phi _{ n}(u)du

Fejér tétele : ha folytonos -periodikus függvény, ennek a függvénynek a Fourier-sorának részösszegei, és ezeknek a részösszegeknek a számtani középértéke - ( a sorrend Fejér-összegének is nevezik ), akkor egyenletesen konvergál a -hoz . $f(x)$ $2\pi$ $S_k(x)$ $\sigma _{n}(x)$ ${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)))$ $n$ $\sigma _{n}(x)$ $f(x)$

Ha egy pozitív -periodikus páros függvény , akkor a következő állítások érvényesek: $\Phi _{n}(x)$ $2\pi$

$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du={\pi }$ ;
$\int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _ {n}(u)du\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$ bármilyen fix . $\delta>0$

A Fejér kernel a Fourier-integrálhoz [2] :

F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2 }}}

A Fejér kernel tulajdonságai a Fourier-integrálhoz:

$F_{n}(x)\geqslant 0$ ;
$\int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1$ ;
$\int _{|x|\geqslant \delta }F_{n}(x)dx\jobbra 0$ bármely rögzített címen . $\delta>0$ $n \jobbra \infty$

Jegyzetek

↑ Shilov, 1961 , p. 350.
↑ Shilov, 1961 , p. 361.

Irodalom

Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.
Fejér összegzési módszere - Matematikai enciklopédia cikk