Jackson-Stechkin egyenlőtlenség

A Jackson-Stechkin-egyenlőtlenség összekapcsolja egy függvénynek a függvények valamely osztálya általi legjobb közelítésének értékét ennek a függvénynek a tulajdonságaival, általában a függvény folytonossági modulusának értékével egy bizonyos ponton. Példa:

E_{n}(f)_{L^{2}}<K\omega _{f}(\delta ).

A példában egy függvény térbeli fokszámú polinomokkal való legjobb közelítésének értékét felülről becsüljük meg a függvény folytonossági modulusának értékén keresztül a pontban . A mennyiséget Jackson-állandónak nevezzük . Ennek a mennyiségnek a legkisebb értékének kérdése (a "pontos Jackson-állandóról") általában nagyon nehéz. Azokban az esetekben, amikor megoldható, azt a minimális állandót , amelyre az egyenlőtlenség érvényben marad, Cserny-pontnak nevezzük , amelyet szintén nem triviális megtalálni. $f$ $n$ $L^{2}$ $f$ $\delta$ $K$ $\delta$

Történelem

Ilyen típusú egyenlőtlenséget először D. Jackson ( angolul Dunham Jackson ) kapott 1911-ben a periodikus függvények trigonometrikus polinomokkal való közelítésére . Ezt megmutatta

E_{n}(f)\leqslant c\omega \left(f,\;{\frac {1}{n}}\right)

és

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{r}}{n^{r}}}\omega \left(f^{(r)},\;{\frac {1}{n}}\right).

Itt látható a függvény legjobb közelítésének értéke az egységes metrikában trigonometrikus fokszámú polinomokkal . Az első egyenlőtlenségben a függvényt folytonosnak , a másodikban pedig -szor differenciálhatónak tételezzük fel. $E_{n}(f)$ $f$ $n-1$ $f$ $r$

1945-ben Sigmund hasonló egyenlőtlenségeket kapott a másodrendű folytonossági modulus segítségével, 1947-ben S. N. Bernshtein akadémikus használhatta a folytonossági rend modulusát . 1949-ben S. B. Stechkin általánosított minden korábbi eredményt, és megállapította (a Jacksontól eltérő módszerrel), hogy $k$

E_{n}(f)\leqslant c_{k}\omega _{k}\left(f,\;{\frac {1}{n}}\right)

és

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{k+r}}{n^{r}}}\omega _{k}\left(f^{(r)},\;{\frac {1}{n}}\right).

Itt az állandók nem függenek a , vagy -tól . Ennek eredményeként a hazai szakirodalomban az egyenlőtlenséget kezdték Jackson-Stechkin egyenlőtlenségnek, a hasonló egyenlőtlenségeket pedig Jackson-Stechkin-típusú egyenlőtlenségnek nevezni . $c_{k}$ $f$ $n$ $r$

1961-ben N. P. Korneichuk rámutatott a pontos Jackson-állandóra az első egyenlőtlenségben:

E_{n}(f)<1\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n}}\right).

1967-ben Stechkin megkapta a Jackson-egyenlőtlenséget minden térben : $L_{p}$ $p\in [1,\;\infty )$

E_{n}(f)_{p}<{\frac {3}{2}}\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n}}\right)_{p}.

Később a különböző országokban számos matematikus foglalkozott ezzel a témával (és foglalkozik ma is), hasonló egyenlőtlenségeket kaptak különböző terekre , közelítő osztályokra és folytonossági modulokra .