Bethe-Salpeter egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A H. Bethe -ről és E. Salpeterről elnevezett Bethe-Salpeter egyenlet egy kétrészecskés kvantumtérrendszer kötött állapotait írja le relativisztikusan kovariáns formában . Az egyenletet először 1950 -ben publikálták Yoichiro Nambu cikkének végén , de levezetés nélkül. [egy]

A Bethe-Salpeter egyenlet integrál alakja

Az interakciós problémák megoldásának fő módszere kétségtelenül a perturbációelmélet, de ez messze nem az egyetlen módszer. Léteznek úgynevezett nem-perturbatív módszerek, és ezek egyike a Bethe-Salpeter egyenlethez vezet. Két összekapcsolt fermion rendszerét tekintjük . Egy szabad elméletben, amint ismeretes, egyrészecskés hullámfüggvény esetén (ahol a spinor index ) a propagátort a következőképpen határozzuk meg: $\psi _{a}$ $a$

\psi (x_{2})=-i\int {d\sigma {(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\! \!/(x_{1})\psi (x_{1})}

Itt egy "áthúzott mátrixok" jelölést használunk , - a külső normál 4-vektora . Az integráció a kötet felületén történik, amely tartalmazza az eseményt , . Feynman propagátor. Nem kölcsönható részecskék esetében a következő egyenlet megoldásaként definiálható [2] : $n(x_{1})$ ${\displaystyle x_{2))$ $S_{F}$

(i\nabla \!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta ^{4}(x'-x)\qquad (1)

Hasonlóan az egyrészecskés hullámfüggvény propagátorához, a kétrészecskés hullámfüggvény propagátora is meghatározható a következő kifejezéssel:

\psi _{ab}(x_{3},x_{4})=\int {d\sigma {(x_{1})}d\sigma {(x_{2})}S^{ab }{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2} )\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}\qquad (2)

Itt van egy spinor két spinor indexszel . Nem kölcsönható részecskék esetén a kétrészecskés hullámfüggvény az egyrészecskések szorzatává bomlik, a propagátor pedig a propagátorok szorzatává: ${\displaystyle \psi _{ab))$ ${\megjelenítési stílus a,b}$

S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})

Ez azonban a legtriviálisabb eset. Most "kapcsoljuk be" az elektromágneses kölcsönhatást két részecske között. Ha a perturbációelmélet ideológiáját követnénk, akkor azt kapnánk, hogy Feynman nyomán a következőképpen ábrázoljuk: ${\displaystyle S^{ab))$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma

A perturbációelméletből nyert összes lehetséges diagram összegét értjük. Az egyenlethez vezető fő gondolat az, hogy a diagramok teljes összegét egy bizonyos kernelként jelöljük . Egy diagramot redukálhatónak nevezünk, ha két fermionikus vonal eltávolítása után megszakad. Ekkor két hozzájárulás összegeként ábrázolható: a redukálható diagramok hozzájárulása és az irreducibilis diagramok hozzájárulása . Megmutatható [3] , hogy a kifejezés a következőképpen írható át: $\Sigma$ $K$ $K$ ${\overline {K}}$ $S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int {d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}d ^{4}x_{8}\cdot iS_{F}^{a}(x_{3},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{4},x_{6}){\ felülírás {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1} ,x_{2})}

Ezt a kifejezést behelyettesítve a Bethe-Salpeter egyenletet kapjuk: $(2)$

\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi _{ab}(x_{1},x_{2})+\int {d^{4}x_{3 }d^{4}x_{4}d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}\cdot iS_{F}^{a}(x_{1},x_{5})iS_ {F}^{b}(x_{2},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4}) \psi _{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad (3)

Ebben a kifejezésben egy szabad kétrészecske-hullámfüggvény, azaz egy hullámfüggvény a részecskék közötti kölcsönhatás hiányában. Így megkaptuk a második típusú Fredholm -integrálegyenletet . ${\displaystyle \varphi _{ab))$

A Bethe-Salpeter egyenlet integro-differenciális alakja. Írás p-space-ben

Cselekedjünk most a Bethe-Salpeter egyenlet alapján az operátorokkal , érvényben a következő kifejezést kapjuk: $(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})$ $(1)$

(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab }(x_{1},x_{2})=-\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}{\overline {K))^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Ennek megfelelően a Fredholm típusú integrálegyenlet helyett egy kétrészecskés hullámfüggvény integro-differenciálegyenletét kapjuk . A Bethe-Salpeter egyenlet másik lehetséges módja, hogy impulzustérbe írjuk, vagyis egy kétrészecskés hullámfüggvény Fourier-transzformációját a következőképpen definiáljuk: $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$ $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$

\chi _{ab}(p_{1},p_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1 }d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi _{ab}{(x_{1},x_ {2})}}

Maga a Bethe-Salpeter egyenlet Fourier-transzformációja a következőképpen írható fel:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1 }x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{ 2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d ^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_ {2}x_{2})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{ 3},x_{4})}

A bal oldalon a gradienseket a részenkénti integráció segítségével viheti a kitevőbe . A jobb oldalra két delta függvényt is hozzáadunk. Kapunk:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla \ !\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1} +p_{2}x_{2})}\jobbra]\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=

=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_ {3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{ 2}x_{2})}\delta ^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta ^{4}(x'_{4}-x_{4}){\overline { K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

A delta függvények impulzusábrázolása primer változókkal segítségével átírhatjuk a kernelt impulzusábrázolásba, nevezetesen: ${\overline {K}}^{ab}$

{\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})={\frac {1}{(2\pi )^{ 8}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{ 1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})}

Ezt felhasználva megkapjuk a Bethe-Salpeter egyenletet impulzus alakban:

({\cancel {p}}_{1}-m_{a})({\cancel {p}}_{2}-m_{b})\chi _{ab}(p_{1} ,p_{2})=-\int {d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}{\overline {K}}^{ab}(p_{1}, p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi _{ab}(p'_{1},p'_{2})}

Egyéb ábrázolások

Általánossága és az elméleti fizika számos ágában használatos ténye miatt a Bethe-Salpeter egyenlet többféle formában is megtalálható. A nagy energiájú fizikában gyakran használt forma a következő:

\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4))}\;K(P,p,k)\, S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})

ahol a Bethe-Salpeter amplitúdó , két részecske kölcsönhatását írja le, és a terjedőjük . $\gamma$ $K$ $S$

Mivel ez az egyenlet a kötött állapotok és az S-mátrix pólusaival való azonosításával kapható meg , így összefüggésbe hozható a szórási folyamatok kvantumleírásával és a Green-függvényekkel .

Még az olyan egyszerű rendszerek esetében sem, mint a pozitrónium , az egyenlet nem oldható meg pontosan, bár elvileg pontosan meg van adva. Szerencsére az állapotok osztályozása egzakt megoldás nélkül is elvégezhető. Ha az egyik részecske sokkal tömegesebb, mint a másik, akkor a feladat nagymértékben leegyszerűsödik, és ebben az esetben a Dirac-egyenlet egy nehéz részecske által létrehozott külső potenciálban elhelyezkedő könnyű részecskére van megoldva.

Jegyzetek

↑ Y. Nambu. Erőpotenciálok a kvantumtérelméletben // Az elméleti fizika fejlődése. - 1950. - 1. évf. 5 , sz. 4 . - doi : 10.1143/PTP.5.614 .
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Kvantumkromodinamika . — 3. - Springer, 2007. - S. 46 -47. — 475 p.
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Kvantumkromodinamika. — Springer. - S. 347-348. — 475 p.

Irodalom

W. Greiner , J. Reinhardt. Kvantumelektrodinamika. — 3. - Springer (kiadó), 2003. - ISBN 978-3-540-44029-1 .
N. Nakanishi. A Bethe–Salpeter egyenlet elméletének általános áttekintése (angol) // Progress of Theoretical Physics. - 1969. - 1. évf. 43 . — P. 1–81 . - doi : 10.1143/PTPS.43.1 .
N. N. Bogolyubov, D. V. Shirkov, Bevezetés a kvantált mezők elméletébe, 1973