Neumann univerzum

A Neumann-univerzum ( a halmazok hierarchiája von Neumann szerint ) örökletes , jól megalapozott halmazok által alkotott osztály ; egy ilyen gyűjteményt, amelyet a Zermelo-Fraenkel halmazelmélet (ZFC) formalizált, gyakran használnak a ZFC axiómák értelmezésére vagy igazolására. A szabványos jelölés . $V$

Egy jól megalapozott halmaz rangját induktív módon úgy definiáljuk, mint a legkisebb sorszámot , amely nagyobb, mint a halmaz bármely elemének rangja [1] . Különösen az üres halmaz rangja egyenlő nullával, és bármely sorszám rangja egyenlő önmagával. Az osztályba tartozó halmazok a rangokra bontás miatt egy transzfinit hierarchiát alkotnak, amelyet kumulatív halmazhierarchiának is neveznek . $V$

Történelem

1982-ben Gregory Moore kijelentette, hogy a Neumann-univerzumnak is nevezett kumulatív típushierarchiát tévesen von Neumannnak [2] tulajdonították, mert először Ernst Zermelo [3] 1930 -as publikációjában említette .

A halmazok transzfinitíven rekurzív definíciójának létezését és egyediségét von Neumann 1928-ban bizonyította a Zermelo-Fraenkel halmazelmélet [4] esetére , valamint saját halmazelméletére (amely később az NBG elmélet alapja lett). [5] Azonban egyik cikkben sem használta transzfinit rekurzív módszerét az összes halmaz univerzális gyűjteményének megalkotására. A Neumann-univerzum Bernays [6] és Mendelssohn [7] leírása von Neumannnak tulajdonít egy transzfinit indukción alapuló konstrukciós módszert , de nem alkalmazza azt a közönséges halmazokból álló univerzum felépítésének problémájára.

A szimbólum nem utal Neumann nevére, Peano már 1889-ben a halmazok univerzumára utalt vele, ami a "Verum" szót jelenti, amelyet nem csak logikai szimbólumként, hanem a halmazok osztályának jelölésére is használt. minden elemet. [8] 1910-ben Whitehead és Russell Peano jelölést alkalmaztak az összes halmaz osztályának jelölésére. [9] Von Neumann sorszámokról és transzfinit indukcióról szóló tanulmányai (1920-as évek) nem használják a V jelölést (az összes halmaz osztályának értelmében). Paul Cohen [10] kifejezetten Gödel 1940-ben írt cikkének [11] tulajdonítja, hogy az V szimbólumot (az összes halmaz osztálya) használja , bár Gödel ezt a jelölést nagy valószínűséggel korábbi publikációktól, például Whiteheadtől és Russelltől kölcsönözte. [9] $V$

A képletet gyakran tételnek tekintik, nem pedig definíciónak. [6] [7] Roitman [12] szerint (források megjelölése nélkül) a kumulatív hierarchia szabályossága és egyenlősége axiómának a ZF-halmazok univerzumával való egyenértékűségét először Neumann mutatta be. $\bigcup _{{\alpha }}V_{\alpha }$

Definíció

A kumulatív hierarchia halmazok olyan családja, ahol az index végigfut az összes sorszám osztályán . Pontosabban, a készlet minden olyan halmazból áll, amelyek rangja kisebb, mint . Így minden sorszám egyetlen halmaznak felel meg . Formálisan egy halmaz transzfinit rekurzióval definiálható : $V_{\alpha }$ $\alpha$ $V_{\alpha }$ $\alpha$ $\alpha$ $V_{\alpha }$ $V_{\alpha }$

Válasszuk ki az üres halmazt a következőképpen: $V_{0}$ $V_{0}:=\{\}.$
Legyen tetszőleges sorszám, akkor ez a halmaz logikai értéke : $\beta$ $V_{{\beta +1}}$ $V_{\beta }$ $V_{{\beta +1}}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).$
Legyen a sorszám határértéke , akkor az előző lépésekben felépített összes -halmaz uniójaként definiálható : $\lambda$ $V_{\lambda}$ $V$ $V_{\lambda }:=\bigcup _{{\beta <\lambda }}V_{\beta }.$

Ennek a definíciónak a legfontosabb jellemzője, hogy a ZFC-elmélet nyelvén azt az állítást, hogy "egy halmaz tartozik ", a forma egyetlen képlete fejezi ki . $x$ $V_{\alpha }$ $\varphi (\alpha ,x)$

Az osztály az űrlap összes halmazának egyesítése : $V$ $V_{\alpha }$

V:=\bigcup _{{\alpha }}V_{\alpha }

Egy ekvivalens definíció az űrlap jelölését használja

V_{\alpha }:=\bigcup _{{\beta <\alpha }}{\mathcal {P}}(V_{\beta })

ahol egy tetszőleges sorszám, és a halmaz logikai értéke . $\alpha$ ${\mathcal {P}}(X)$ $x$

Egy halmaz rangja a legkisebb , amelyre $S$ $\alpha$ $S\subseteq V_{\alpha }\,.$

A következő ábra a Neumann-hierarchia első öt szintjének sematikus ábrázolását mutatja (-től ig ). (Egy üres doboz egy üres halmaznak felel meg. A csak üres blokkot tartalmazó doboz annak a halmaznak felel meg, amelynek egyetlen eleme az üres halmaz, és így tovább.) $V_{0}$ $V_{4}$

A készlet 65536 elemből áll. A halmaz mérete megegyezik és jelentősen meghaladja a megfigyelhető univerzum atomjainak számát . Így a kumulatív hierarchia végső szintjei 5-nél magasabb indexszel nem írhatók ki kifejezetten. A készlet ugyanazzal a kardinalitású, mint . A hatvány egybeesik a valós számok halmazának hatványával . $V_{5}$ $V_{6}$ $2^{{65536}}$ $V_{\omega}$ $\omega$ $V_{{\omega +1}}$

Kapcsolat a halmazelmélettel

Ha a természetes számok halmaza , akkor a halmaz örökletesen véges halmazokból áll, és a halmazelmélet modellje a végtelen axiómája nélkül . létezik a "hétköznapi matematika" univerzuma és Zermelo halmazelméleti modellje . Ha egy elérhetetlen kardinális szám , akkor magának a ZFC elméletnek a modellje , míg a Morse-Kelly halmazelmélet modellje . $\omega$ $V_{\omega}$ $V_{{\omega +\omega }}$ $\kappa$ $V_{\kappa}$ $V_{{\kappa +1}}$

$V$ két okból nem „az összes halmaz halmaza ”. Először is, V nem halmaz; annak ellenére, hogy a gyűjtemények mindegyike egy halmaz, egyesülésük egy külön osztály . Másodszor, csak jól megalapozott halmazok kerülnek az osztályba elemként. Az alapozás (vagy szabályosság) axiómája szerint minden halmaz megalapozott, ezért a . osztályba tartozik . Így a ZFC elméletben minden halmaz az osztály eleme . Más axiomatikus rendszerekben azonban az alapozási axiómát felválthatja erős tagadása (például Axel alapozásellenes axiómája ), vagy egyszerűen hiányozhat. A megalapozatlan halmazok ilyen elméleteit általában nem alkalmazzák a gyakorlatban, de tanulmányozás tárgyát képezhetik. $V_{\alpha }$ $V$ $V$ $V$ $V$

A harmadik kifogás a „minden halmaz halmazaként” való értelmezéssel szemben az, hogy nem minden halmaz „tiszta”, azaz üres halmazzal, logikai értékkel és unióval fejezhető ki. 1908-ban Zermelo javasolta az urelemek hozzáadását a halmazelmélethez , és 1930-ban ezek alapján felépített egy transzfinit rekurzív hierarchiát. [3] Hasonló urelemeket széles körben használnak a modellelméletben , különösen a Frenkel-Mostowski modellekben [13] . $V$

Filozófiai perspektíva

A Neumann-univerzum és a ZFC-elmélet közötti kapcsolat megértéséhez két fő megközelítés létezik (anélkül, hogy figyelembe vennénk a különféle lehetőségeket és a köztes fokozatokat) . Általánosságban: a formalisták hajlamosak a ZFC axiómák egyfajta következményeként felfogni (például a ZFC elméletében be lehet bizonyítani, hogy minden halmaz eleme ), míg a realisták leggyakrabban a Neumann univerzumban látják. az intuíció számára közvetlenül elérhető objektum, és az axiómákban ZFC - állítások, amelyek igazsága a kontextusban természetes nyelven kifejezett közvetlen érvekkel igazolható. Az egyik lehetséges köztes szempont, hogy a Neumann-hierarchia mentális képe igazolja a ZFC axiómákat (így ad nekik objektivitást), bár nem feltétlenül felel meg semmilyen valós objektumnak. $V$ $V$ $V$ $V$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Mirimanoff 1917; Moore 1982, pp. 261-262; Rubin 1967, p. 214
↑ Gregory H. Moore, "Zermelo választási axiómája: eredete, fejlődése és hatása", 1982, 2013, Dover Publications, ISBN 978-0-486-48841-7 . (A 279. oldalon a szerző azt állítja, hogy a von Neumann nevére való hivatkozás téves. Zermelo közreműködését a 280. és 281. oldalon említik.)
↑ 1 2 Ernst Zermelo , Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Fundamenta Mathematicae , 16 (1930) 29-47 (Jegyzet 36-40. o.).
↑ von Neumann, John (1928), Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, Mathematische Annalen T. 99: 373–391
↑ von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift Vol. 27: 669–752 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN =PPN266833020_0027&DMDID=DMDLOG_0042 > (Lásd a 745-752. oldalt.)
↑ 1 2 Bernays, Paul. Axiomatikus halmazelmélet (neopr.) . - Dover Publications , 1991. - ISBN 0-486-66637-9 . (Lásd: 203-209. o.)
↑ 12 Mendelson , Elliott. Bevezetés a matematikai logikába (határozatlan) . – Van Nostrand Reinhold , 1964. (Lásd 202. o.)
↑ Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita (port.) . — 1889. (Lásd VIII. és XI. oldal.)
↑ 12 Alfred North Whitehead ; Bertrand Russell . Principia Mathematica (neopr.) . - Merchant Books, 2009. - T. Első kötet. — ISBN 978-1-60386-182-3 . (Lásd a 229. oldalt.)
↑ Cohen, Paul Joseph. Halmazelmélet és a kontinuumhipotézis (neopr.) . — Addison–Wesley , 1966. — ISBN 0-8053-2327-9 . (Lásd a 88. oldalt)
↑ Godel, Kurt. A választási axióma és az általánosított kontinuum-hipotézis összhangja a halmazelmélet axiómáival (angol) . - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1940. - Vol. 3. - (Matematika Tanulmányok Évkönyve).
↑ Roitman, Judith. Bevezetés a modern halmazelméletbe (neopr.) . - Virginia Commonwealth University , 2011. - ISBN 978-0-9824062-4-3 . (Lásd a 79. oldalt.)
↑ Howard, Paul; Rubin, Jean. A választási axióma (neopr.) következményei . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1998. 175-221 . — ISBN 9780821809778 .

Irodalom

Jech, Thomas. Halmazelmélet: A harmadik évezred kiadás, átdolgozva és kibővítve. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth. Halmazelmélet: Bevezetés a függetlenség bizonyításához. - Elsevier, 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)