Konjugált változók

Az összefüggő változók olyan változópárok , amelyek a Fourier-transzformáció révén matematikailag kapcsolódnak egymáshoz . [1] [2] vagy általánosságban a Pontrjagin kettősség segítségével . A kettős kapcsolat természetesen bizonytalansági relációhoz vezet, amelyet a fizikában Heisenberg-féle bizonytalansági elvnek neveznek . Matematikai értelemben a konjugált változók a szimplektikus alap részét képezik , a bizonytalansági reláció pedig a szimplektikus alaknak felel meg . Ezenkívül az adjunkt változókat Noether tételével kapcsolják össze, amely kimondja, hogy ha egy zárt fizikai rendszer tulajdonságai invariánsak az egyik adjunkt változó változása alatt, akkor az adott fizikai rendszerben lévő másik adjunkt változó idővel konzerválódik.

Példák

Sokféle kanonikusan konjugált változó létezik:

Idő és frekvencia : Minél tovább marad fenn egy hangjegy, annál pontosabban ismerjük a frekvenciáját, de tovább tart, ezért elosztottabb esemény. Ezzel szemben egy nagyon rövid hangjegy időben jobban lokalizálódik, de a gyakorisága nem határozható meg nagyon pontosan (csak egy kattintás lesz). [3]
Doppler-effektus : minél pontosabban ismerjük a célpont távolságát, annál kevésbé pontosan ismerjük a megközelítési vagy eltávolítási sebességet, és fordítva. Ebben az esetben az idő és a frekvencia kétdimenziós függvénye a radar bizonytalansági függvénye vagy "radar bizonytalansági diagramja".
Felületi energia: γ d A ( γ = felületi feszültség ; A = felület).
Rugalmas nyújtás: F d L ( F = rugalmas erő; L nyújtási hossz).

Származékos műveletek

A klasszikus fizikában a származékos műveletek olyan konjugált változók, amelyek értékei alapján differenciálás történik. A kvantummechanikában ugyanezeket a változópárokat a Heisenberg -féle bizonytalansági elv köti össze .

Egy részecske „ energiája ” egy bizonyos eseménynél a részecske pályája mentén végzõdõ hatás negatív deriváltja az esemény „ ideje ” vonatkozásában.
Egy részecske „ impulzusa ” a „ helyzetéhez ” viszonyított hatásának a származéka .
Egy részecske „ szögimpulzusa ” a „ szöghelyzetéhez ” viszonyított hatásának a származéka.
Egy részecske "tömegnyomatéka" ( ) a hatásának a " sebességére " vonatkozó negatív deriváltja. $\mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r}$
Az " elektromos potenciál " ( , elektromos feszültség ) egy eseménynél az elektromágneses tér hatásának negatív deriváltja az adott esemény (szabad) " elektromos töltés " sűrűségéhez képest. $\varphi$
Az " elektromágneses térvektor-potenciál " ("A") egy eseménynél az elektromágneses tér hatásának deriváltja az adott eseménynél fennálló (szabad) " elektromos áram " sűrűségéhez képest.
Az " elektromos tér " ("E") egy eseménynél az elektromágneses tér hatásának deriváltja a dielektrikum " polarizációjához " az adott eseményben.
Egy esemény " mágneses indukciója " ("B") az elektromágneses tér hatásának deriváltja az adott esemény " mágnesezésére ".
A newtoni „ gravitációs potenciál ” egy eseménynél a newtoni gravitációs mező hatásának negatív értéke az adott esemény „ tömegsűrűségéhez ” képest.

Kvantummechanika

A kvantummechanikában a konjugált változók olyan megfigyelhető párokként valósulnak meg, amelyek operátorai nem ingáznak. A hagyományos terminológiában ezeket "inkompatibilis megfigyelhetőnek" nevezik. Tekintsük példaként a koordináta és az impulzus által adott mérhető mennyiségeket . A kvantummechanikai formalizmusban két megfigyelhető és megfelel az és operátoroknak , amelyek szükségszerűen kielégítik a kanonikus kommutációs relációt : $\left(x\right)$ $\left(p\right)$ $x$ $p$ ${\widehat {x))$ ${\widehat {p\,))$

[ x ^ , p ^ ] = x ^ p ^ − p ^ x ^ = én ℏ {\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar } $[{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar$

Két operátor minden nullától eltérő kommutátorára létezik egy "bizonytalansági elv", amely jelen példánkban a következőképpen fejezhető ki:

Δ x Δ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2} $\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$

Ebben a fuzzy jelölésben , és jelöli a "bizonytalanságot" az egyidejű specifikációban és . Egy pontosabb és statisztikailag teljesebb kimutatás, beleértve a szórást is , a következő: $\Delta x$ $\Delta p$ $x$ $p$ $\sigma$

σ x σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2} $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2$

Általánosabban, bármely két megfigyelhető és a és operátoroknak megfelelő általános bizonytalansági elvet a következőképpen adja meg: $A$ $B$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {B}}$

σ A 2 σ B 2 ≥ ( egy 2 én ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}} ${\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}$

Ennek megfelelően választhatunk két operátort, mindegyikhez hozzárendelve egy-egy matematikai alakot úgy, hogy a pár kielégítse azt. Ez az operátorválasztás a kvantummechanikát leíró közös alapvető algebrai struktúra (a Heisenberg Lie algebra , a megfelelő csoportot Heisenberg-csoport ) számos ekvivalens (izomorf) reprezentációja egyikét tükrözi. ${\mathfrak {h}}_{3}$ $H_3$

Folyadékmechanika

A hamiltoni folyadékmechanikában és a kvantumhidrodinamikában maga a „ hatás ” (vagy „sebességpotenciál”) a „ sűrűség ” (vagy „ valószínűségi sűrűség ” ) konjugált változója.

Lásd még

Kanonikus koordináták

Jegyzetek

↑ Heisenberg - Kvantummechanika, 1925-1927: A bizonytalansági kapcsolatok . Letöltve: 2022. május 10. Az eredetiből archiválva : 2015. december 22. (határozatlan)
↑ Néhány megjegyzés az időről és az energiáról, mint konjugált változókról
↑ „The Chirplet Transform”, IEEE Transactions on Signal Processing, 43(11), 1995. november, 2745–2761 . Letöltve: 2022. május 10. Az eredetiből archiválva : 2022. április 1.. (határozatlan)